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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 8: Propriedades de integrais definidas- Integrais definidas negativas
- Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
- Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
- Integral definida sobre um único ponto
- Integração de uma versão em escala da função
- Inversão de limites da integral definida
- Integração de somas de funções
- Exemplos resolvidos: cálculo de integrais definidas usando propriedades algébricas
- Encontrando integrais definidas usando propriedades algébricas
- Integrais definidas em intervalos adjacentes
- Exemplo resolvido: divisão do intervalo da integral
- Exemplo resolvido: juntando integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
- Integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
- Funções definidas por integrais: intervalos trocados
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x no limite inferior
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x nos dois limites
- Funções definidas por integrais: problema desafio
- Revisão das propriedades das integrais definidas
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Exemplo resolvido: divisão do intervalo da integral
Cálculo de uma integral definitiva dividindo-a em intervalos menores adjacentes entre si. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA10MP – Temos o gráfico de uma função g(t), ou seja, “g” está variando
em função de “t”. Podemos definir uma outra função, mas agora, ao invés de ter
“c” em relação a “x”, que determina a integral
desta função g(t). Por exemplo, a gente pode ter
esta função “G”, em que esta função
vai ser em relação a “x”, que seja igual à integral, à integral definida vindo
do ponto inicial, que é -3 até um ponto “x” qualquer
desta função g(t) dt. Agora que a gente já definiu esta função,
podemos fazer alguns testes e determinar esta função “G”
em dois pontos diferentes. Por exemplo, a gente pode começar fazendo
esta função em “G” quando “x” é igual a 4. Uma coisa que a gente precisa observar
é que este “G” é maiúsculo e que este “g” é minúsculo. E isso é uma forma, inclusive,
de determinar a antiderivada de g(t). Quando formos calcular este
“G” no “x” igual a 4, o que a gente vai fazer
é uma integral definida vindo de -3 até 4 de g(t) dt. O que queremos fazer agora? Como a gente quer calcular
uma integral definida, precisamos lembrar que
uma integral definida representa a área abaixo de uma curva, ou seja, a área que estará no gráfico
entre a curva e o eixo “x”. Neste caso, a gente vai
querer determinar a área que vai vir de “x”
igual a -3 até “x” igual a 4. Então a gente vai vir desde
“x” a -3, que é este ponto, até este ponto “x” igual a 4. Vamos querer determinar a área
desta primeira figura juntamente com a área desta
segunda figura. Inclusive, a gente pode separar
esta integral em duas partes, fazendo de -3 até zero
e depois de zero até 4. E é o que vamos fazer agora.
Isso vai ser igual a quê? Vai ser igual à integral
definida de -3 até zero, que representa esta
primeira figura, de g(t) dt. Então isso representa
a área desta primeira figura mais a integral definida de zero até 4,
que é outro ponto que queremos e que representa a área de toda
esta outra figura vindo até “x” igual a 4. Isso, novamente,
em relação a g(t) dt. Como eu falei, a integral definida indica
para a gente a área abaixo de uma curva, ou seja, a área gerada entre
a curva da função e o eixo “x”. Aqui, por exemplo,
a gente tem esta primeira área, que é determinada a partir desta integral
definida de g(t) vindo de -3 até zero. A gente consegue rapidamente calcular
a área formada aqui porque isso aqui é um triângulo. E como a gente calcula área
de um triângulo? A área de um triângulo vai ser igual ao comprimento da base vezes
o comprimento da altura dividido por 2. Então, a gente vai
ter 3 vezes 3, que é 9 dividido por 2,
que vai ser igual a 4,5. Então isso vai ser igual
a 4,5 mais esta outra área. No entanto, a gente precisa
fazer uma pequena observação. Quando temos uma área formada
acima do eixo “x”, a gente tem uma área positiva, que é o caso deste 4,5. No entanto, quando a gente tem
uma área formada abaixo do eixo “x”, a nossa área vai ser negativa. Então, ao invés desta integral
indo de zero a 4 ser positiva, ela vai ser negativa, já que a área
formada está abaixo deste eixo “x”. Então, ao invés de ter 4,5
mais alguma coisa, a gente vai ter 4,5 menos alguma coisa. Menos o quê?
A área desta figura. Novamente, percebemos que isso daqui
é um triângulo. E como a gente calcula
a área de um triângulo? Comprimento da base que, neste caso, é 4, vezes o comprimento da altura,
que também é 4 e divide por 2. 4 vezes 4 dá 16,
16 dividido por 2 é igual a 8. A gente vai chegar à resposta:
4,5 menos 8 é igual a -3,5. Este é o resultado desta integral
vindo de -3 até 4 de g(t) dt, que é o resultado deste “G”
com “x” igual a 4. A gente pode fazer a mesma
coisa e fazer o cálculo agora para “G” com “x” igual a 8. Isso significa o quê?
Que a gente vai integrar de -3 até 8 esta função g(t) dt. A gente pode fazer
o mesmo procedimento agora e separar esta integral em algumas partes. Por exemplo, a gente pode pegar novamente
esta primeira parte, que vem de -3 a zero, e a gente faz uma integral
definida vindo de -3 a zero de g(t) dt, e somar agora
com a integral definida da segunda parte, e esta segunda
parte a gente pode pegar de zero e pegar toda esta outra figura
vindo até “x” igual a 6. Então, a gente vai integrar
aqui vindo de zero até 6 a função g(t) dt. Por último, a gente pode pegar vindo
de 6 até 8, que é o nosso ponto final, e integrar para encontrar a área
de toda esta figura. A gente põe mais
a integral definida vindo de 6 até 8 de g(t) dt. Então, a gente já conseguiu pegar toda
esta integral e separar estas três partes, porque aí conseguimos determinar
a área de cada uma destas três figuras. Neste caso, a gente consegue
fazer isso muito facilmente. Como? A integral vindo de -3 até zero
é a área desta figura, que é um triângulo, e a gente já fez até isso aqui antes.
Não foi igual a 4,5? Então a gente tem que
isso aqui vale 4,5 mais a integral de g(t) dt
vindo de zero a 6. Novamente, como esta área está abaixo
do eixo “x”, a gente vai ter um sinal de menos
porque esta área vai ser negativa. E, novamente, a gente tem
um triângulo aqui. A gente vai pegar o comprimento
da base que, neste caso, é 6, vai multiplicar por 4, que é a altura. 6 vezes 4 dá 24,
e dividir por 2, que é 12, então a gente vai ter 4,5 menos 12 mais esta área que está acima do eixo “x”,
então vai ser positiva. E, novamente, é um triângulo com uma
base igual a 2 e uma altura igual a 4. 2 vezes 4 dá 8,
que dividido por 2 dá 4, então isso vai ser igual
a 4,5 menos 12, mais 4 é igual a -3,5. Olha, chegamos exatamente
à mesma resposta. E o porquê disso? Se você reparar, a gente
tem que esta integral de cima, de “g” igual a 4,
corresponde à área desta figura menos a área desta outra
figura, e isso deu 3,5. Enquanto que esta integral de baixo
a gente vai pegar esta mesma área, vai subtrair esta e somar esta. No entanto, este triângulo tem a mesma
área que este outro aqui de cima, então esta área negativa anula
esta área positiva, o que faz com que não haja
nenhuma alteração na área calculada anteriormente,
ou seja, -3,5, por isso que a resposta desta integral
deu o mesmo valor que esta outra.