Funções definidas por integrais: problema desafio

RKA3JV - Aqui nós temos o gráfico da função "f" e assumimos que "f" é uma função de "t" no eixo horizontal. E aqui está nosso eixo "t". Então, aqui seria f(t). E, agora, nós vamos definir outra função. Vou chamá-la de "F" e não vai ser uma função de "t", vai ser uma função de "x". Então, F(x) é igual a, vamos definir como a integral definida entre "t" que é igual a -5 e "t = x". Na verdade, deixe-me trocar esta cor aqui para deixar a cor igual. Então, é F(x) é igual à integral definida entre t = -5 e t = x f(t) dt. Se eu tivesse como, eu não usaria "F" e "f". Eu usaria "g" ou "G", só para não confundir quando eu falar "f". Eu vou tentar ao máximo diferenciá-las. Então, assim, nós vamos definir a nossa função F(x), integral definida entre "t" igual -5 e "x", f(t) dt. Agora, que temos esta definição aqui, o que eu quero saber é que valores de "x" nós vamos ter o F(x) igual a zero. Então, vamos escrever aqui. Para qual "x" isto aqui é verdade? Agora, eu encorajo você a pausar o vídeo e tentar pensar nisto sozinho. Depois, nós podemos fazer isto juntos. Bom, assumindo que você já tenha pensado sobre isto sozinho, então vamos pensar sobre isto daqui. O que esta função F(x) realmente descreve. E uma forma de pensar sobre isso é a área abaixo entre "t = -5" e "t = x", que fica abaixo da função f(t) e sobre o eixo "t". E se esta área está do outro lado, se está abaixo do eixo "t" e acima da função, teremos uma área negativa. Então, olhando para um "t = -5", bem aqui, eu poderia dizer que este limite aqui em que "t = -5", se você pegasse um valor de "x", digamos "x = -2", se este é o valor de "x", então, "F" descreveria esta área, que seria negativa, pois aqui a função está abaixo do eixo "t". Então, com este exemplo, F(-2) seria negativo. Agora, que valores de "x" fazem isso dar zero? Talvez esteja na cara. Se nós colocarmos o "x" aqui em -5, por exemplo. Então, aqui não tem largura. Por isso, não teríamos área nenhuma. Então, F(-5) é igual à integral definida entre "t = -5" e "t = -5 de f(t) dt". Bem, agora, temos os mesmos limites aqui. Então, isso vai ser igual a zero. Pois, de novo, não teremos nenhuma largura nesta área. Assim, isto vai ser igual a zero. Então, podemos dizer que quando "x = -5", é um destes pontos. Um dos valores que fazem f(x) ser igual a zero. Mas vamos tentar encontrar mais. Antes de começar, deixe-me apagar isso aqui. E vamos começar com um "t = -5". Então, nós vemos aqui que o "x" vai aumentando, e conforme vai aumentando, quando "x = -3" a nossa área, vamos ver a nossa área aqui. Vejo que temos 2 indo do -5 ao -3. Então, esta distância aqui é igual a 2. E esta altura aqui vai ser igual a 4. Então, esta área vai ser 2 vezes 4, vezes 1/2, que vai ser igual a 4. Já que estamos acima da função e abaixo do eixo "t", vamos escrever como negativa. Vamos escrever como -4. Agora, vamos ver, nós começamos com "x = -5". Então, F(x) é igual a zero. Ou seja, quanto mais longe você for, você vai tendo mais e mais valores negativos. Mas eu peguei este ponto aqui, porque parece ser um ponto de transição da função. E, depois disso, temos esta região que só vai adicionar mais área negativa a F(x) conforme "x" vai aumentando. Isto parece mais 1/4 de uma circunferência. Tem 1/4 de uma circunferência de raio 4. Então, temos outro 1/4 de circunferência também de raio 4. Até chegarmos ao 5. E esta vai ser uma área positiva, já que aqui a função está acima do eixo "t". E agora que chegamos aqui, o que nós pensamos? F(x) é zero quando "x = 5". Agora, a nossa área conforme "x" aumenta, a nossa área vai diminuindo. Vai ficando negativa. Aqui diminui menos já que começamos a adicionar área. Então, por exemplo, se "x = 2" estaríamos em uma parte positiva. Mas ainda temos toda esta grande área negativa para superar. Então, ainda estamos em território negativo. Mas quanto mais coisas positivas nós adicionamos, ficamos menos negativos. E vamos até "x = 5" e esta área positiva, este quarto de circunferência de área positiva, vai ser exatamente o oposto deste quarto de circunferência negativa. Então, não precisamos nem pensar sobre ela. Podemos descobrir com o πr². Enfim, agora só temos que continuar adicionando mais área positiva para anular este -4. Então, como fazemos isso? Bom, a altura aqui é 4. Então, desta forma, se adicionarmos um retângulo de 1 de comprimento e 4 de altura, então, teremos uma área positiva de 4. Então, isto aqui equivale a "+4", que vai anular este "-4". Então, vamos até "x = 6". Quando "x" é igual a 6, F(x) é igual a zero. Então, vamos escrever isso. F(6) vai ser igual à integral definida, entre -5 e 6 de f(t) dt. Isto é igual à integral entre -5 e -3 de f(t) dt, mais a integral entre -3 e 1de f(t) dt, mais a integral entre 1 e 5 de f(t) dt, que descreve isto aqui. E, finalmente, mais a integral definida entre 5 e 6 de f(t) dt. Então, isto aqui vai descrever nossa área negativa, isto descreve a área positiva. E elas se anulam e dão zero. Esta área nós já descobrimos, esta integral definida, quer dizer, ela vai ser -4. E esta aqui vai ser +4. Então, elas se anulam e vai ser igual a zero. Revisando, como eu fiz isso? Eu disse que quando "x = -5", não temos área. Depois, só continuei aumentando "x", mas eu poderia ter feito ao contrário e eu só teria mais valores positivos. Mas aí não teria nenhum valor negativo que pudesse anular isso. Mas, como aumentamos "x" a partir do -5, então, F(x), a área, foi ficando mais e mais negativa. Mas depois disso, começamos a adicionar valores positivos para anular a parte negativa. E terminamos de anular quando "x" é igual a 6.