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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 8: Propriedades de integrais definidas- Integrais definidas negativas
- Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
- Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
- Integral definida sobre um único ponto
- Integração de uma versão em escala da função
- Inversão de limites da integral definida
- Integração de somas de funções
- Exemplos resolvidos: cálculo de integrais definidas usando propriedades algébricas
- Encontrando integrais definidas usando propriedades algébricas
- Integrais definidas em intervalos adjacentes
- Exemplo resolvido: divisão do intervalo da integral
- Exemplo resolvido: juntando integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
- Integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
- Funções definidas por integrais: intervalos trocados
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x no limite inferior
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x nos dois limites
- Funções definidas por integrais: problema desafio
- Revisão das propriedades das integrais definidas
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Exemplo resolvido: juntando integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
Pense sobre como calcular a soma de integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um
exemplo de integral definida. Para isso, vamos observar esse gráfico
de "y = f(x)" que temos aqui. Observe que temos algumas
regiões sombreadas e em cada uma dessas regiões
temos um número. Cada um desses números corresponde
à área entre a curva e o eixo "x". O que vamos fazer aqui
é calcular algumas integrais utilizando estas informações
aqui do gráfico e algumas propriedades
de integrais definidas. Vamos começar aqui com o primeiro exemplo. Vamos dizer que a gente queira
avaliar a integral definida indo de -4 até -2 de f(x)dx mais a integral definida indo
de -2 até zero de f(x)dx. Pause este vídeo e veja se você
consegue avaliar toda esta expressão. Nesta primeira parte aqui
da nossa expressão, temos a integral definida de -4 a -2
de f(x)dx, ou seja, estamos indo de "x = -4''
até "x = -2". Sendo assim, isso aqui pode ser avaliado como a área entre a nossa curva
e o eixo "x", mas neste caso, o valor vai ser negativo, porque a curva está abaixo do eixo "x". Podemos tentar estimar isso com
base nas informações que foram fornecidas. Só que o problema não forneceu
exatamente esse valor, e também precisamos descobrir
o restante da expressão, em que aqui temos a integral
de -2 a zero de f(x)dx. Então, isso aqui vai ser esta área. Se você está olhando para a soma
de duas integrais definidas, e observa que o limite superior aqui
é o limite inferior aqui, você provavelmente está pensando em algo, ou seja, que isto é a mesma coisa
que a integral definida indo de "x = -4"
a "x = 0" de f(x)dx. Isso é uma das propriedades
de integração. Se o nosso limite superior aqui
é igual ao nosso limite inferior aqui, e estamos integrando a mesma coisa, você pode mesclar estas duas
integrais definidas dessa forma. Assim, isso vai ser toda esta área aqui, mas como estamos abaixo do eixo "x"
e acima de nossa curva, a integral será o negativo
aqui desta área. Sendo assim, isso vai ser igual a -7. Vamos fazer outro exemplo aqui agora? Vamos supor que você
estivesse andando na rua e aí alguém do nada te parasse
e te perguntasse: olhe, aqui temos um gráfico, e qual é o valor da integral
de zero a 4 de f(x)dx mais a integral definida
de 4 a 6 de f(x)dx? Pause este vídeo e tente fazer isso. Bem, mais uma vez, esta primeira parte bem aqui
vai de zero a 4, então, corresponde a essa área aqui. Aqui temos 5, mas aqui precisamos subtrair esta área, porque ela está abaixo do nosso eixo "x"
e acima da nossa curva. Não sabemos exatamente quanto é isso, mas felizmente, também precisamos
somar isso com essa outra integral. Sendo assim, também vamos de 4 a 6, então, também precisamos
considerar esta área. Mais uma vez, quando vemos dessa maneira, podemos ver que esta expressão
vai ser equivalente à integral definida de zero a 6 de f(x)dx. E mais uma vez, mesmo que você
não tenha visto o gráfico, você saberia disso, porque em ambos os casos você está
obtendo a integral definida de f(x)dx, e nosso limite o superior aqui
é o nosso limite inferior aqui. Assim, mais uma vez, somos
capazes de fundir as integrais. Mas enfim, isto aqui
vai ser igual a quê? Bem, nós temos esta área aqui, que é 5, e também estamos toda
esta área aqui que é 6. Isso foi fornecido. Mas como essa área está abaixo do eixo "x" e acima de nossa curva, quando avaliarmos esta área aqui
como uma integral definida, ela precisa ser considerada como -6. Assim, temos que integral definida
vai ser igual a 5 - 6, e é igual -1. E terminamos! Eu espero que você tenha
compreendido direitinho estes exemplos aqui e mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!