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Revisão de integração por partes

Revise suas habilidades de integração por partes.

O que é integração por partes?

Integração por partes é um método para calcular integrais de produtos:
integral, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, integral, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
ou, de maneira mais compacta:
integral, u, space, d, v, equals, u, v, minus, integral, v, space, d, u
Podemos usar esse método, que pode ser considerado como a "regra do produto reversa", considerando um dos dois fatores como a derivada de outra função.
Quer aprender mais sobre integração por partes? Dê uma olhada nesse vídeo.

Conjunto de exercícios 1: integração por partes de integrais indefinidas

Vamos calcular, por exemplo, a integral indefinida integral, x, cosine, x, d, x. Para fazer isso, definimos u, equals, x e d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:
integral, x, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, integral, u, d, v
u, equals, x significa que d, u, equals, d, x.
d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x significa que v, equals, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.
Agora, integramos por partes!
xcos(x)dx=udv=uvvdu=xsen(x)sen(x)dx=xsen(x)+cos(x)+C\begin{aligned} \displaystyle\int x\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=uv-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x\operatorname{sen}(x)-\int\operatorname{sen}(x)\,dx \\\\ &=x\operatorname{sen}(x)+\cos(x)+C \end{aligned}
Lembre-se de que você sempre pode verificar seu trabalho calculando a derivada de seu resultado!
Problema 1.1
  • Atual
integral, x, e, start superscript, 5, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

Quer tentar resolver mais problemas como esse? Dê uma olhada nesse exercício.

Conjunto de exercícios 2: integração por partes de integrais definidas

Vamos calcular, por exemplo, a integral definida integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. Para fazer isso, definimos u, equals, x e d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:
u, equals, x significa que d, u, equals, d, x.
d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x significa que v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.
Agora, integramos por partes:
=05xexdx=05udv=[uv]0505vdu=[xex]0505exdx=[xexex]05=[ex(x+1)]05=e5(6)+e0(1)=6e5+1\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_0^5 xe^{-x}\,dx \\\\ &=\displaystyle\int_0^5 u\,dv \\\\ &=\Big[uv\Big]_0^5-\displaystyle\int_0^5 v\,du \\\\ &=\displaystyle\Big[ -xe^{-x}\Big]_0^5-\int_0^5-e^{-x}\,dx \\\\ &=\Big[-xe^{-x}-e^{-x}\Big]_0^5 \\\\ &=\Big[-e^{-x}(x+1)\Big]_0^5 \\\\ &=-e^{-5}(6)+e^0(1) \\\\ &=-6e^{-5}+1 \end{aligned}
Problema 2.1
  • Atual
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, x, cubed, natural log, x, space, d, x, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

Quer tentar resolver mais problemas como esse? Dê uma olhada nesse exercício.

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