Revisão de integração por partes

Integração por partes é um método para calcular integrais de produtos:

ou, de maneira mais compacta:

Podemos usar esse método, que pode ser considerado como a "regra do produto reversa", considerando um dos dois fatores como a derivada de outra função.

Vamos calcular, por exemplo, a integral indefinida $\displaystyle\int x\cos x\,dx$integral, x, cosine, x, d, x. Para fazer isso, definimos $u = x$u, equals, x e $dv=\cos(x) \,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:

$u=x$u, equals, x significa que $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=\cos(x)\,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x significa que $v = \operatorname{sen}(x)$v, equals, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.

Agora, integramos por partes!

Lembre-se de que você sempre pode verificar seu trabalho calculando a derivada de seu resultado!

Vamos calcular, por exemplo, a integral definida $\displaystyle\int^5_0 xe^{-x}dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. Para fazer isso, definimos $u = x$u, equals, x e $dv=e^{-x} \,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:

$u=x$u, equals, x significa que $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=e^{-x}\,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x significa que $v = -e^{-x}$v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.

Agora, integramos por partes: