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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 17: Integração por partes- Introdução à integração por partes
- Integração por partes: ∫x⋅cos(x)dx
- Integração por partes: ∫ln(x)dx
- Integração por partes: ∫x²⋅𝑒ˣdx
- Integração por partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
- Integração por partes
- Integração por partes: integrais definidas
- Integração por partes: integrais definidas
- Desafio de integração por partes
- Revisão de integração por partes
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Introdução à integração por partes
Examinando a regra do produto para derivadas em reverso, obtemos uma ferramenta de integração poderosa. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Neste vídeo, vamos revisar
a regra do produto que você aprendeu há algum tempo, e, a partir dela, iremos deduzir a forma para integração por partes, que pode ser vista como
uma regra inversa do produto. Digamos que eu comece com uma função que pode ser expressa como
o produto de duas outras funções, como por exemplo, f(x) e g(x). Agora, vamos tomar a derivada
desta função composta. E só lembrando, a regra do produto vai ser a derivada da primeira função, que eu vou chamar de f'(x), vezes a segunda função, g(x), mais a primeira função, f(x), vezes g'(x), que é derivada
da segunda função. Agora, vamos obter antiderivada
em ambos os lados da equação. Então, a antderivada aqui do lado esquerdo fica f(x) g(x). E não vamos nos preocupar com
a constante agora, podemos ignorá-la por enquanto. Então, isso aqui vai ser igual à antiderivada disso aqui, que é igual à antiderivada
de f'(x) g(x) dx mais a antiderivada de f(x) g'(x) dx. Agora, o que eu quero fazer
é resolver esta parte bem aqui. Para fazer isso, é só subtrair
esta parte em ambos os lados, e aí, eu consigo isolar o que eu quero. Então, vamos lá. Vai ficar assim: f(x) g(x) menos esta parte aqui, f'(x) g(x) dx igual à antiderivada de f(x) g'(x) dx. Bom, eu vou escrever
isso aqui ao contrário só para ficar mais claro. Então, a antiderivada de
f(x) g'(x) dx é igual a f(x) g(x) menos a antiderivada de f'(x) g(x) dx. Então, essencialmente, esta aqui é a fórmula
de integração por partes. Isso aqui nos diz que se nós tivermos uma integral ou uma
antiderivada da fórmula f(x) vezes a derivada
de alguma outra função, podemos aplicar esta regra aqui. E você pode dizer: "ah, mas isto não é útil, primeiro eu tenho que identificar
uma função que possui esta forma, e eu ainda tenho uma integral nisso". Mas o que veremos,
no próximo vídeo, é que isso pode simplificar
uma porção de funções das quais estamos tentando
tomar a antiderivada.