Integração por partes: ∫ln(x)dx

RKA14C O objetivo deste vídeo é tentar descobrir a antiderivada do logaritmo natural de x (ln x). Não é completamente óbvio como abordar isso. Primeiramente, mesmo se eu disser para você usar a integração por partes, você diria: "Integração por partes?". Você está procurando a antiderivada de algo, que pode ser expressada como o produto de duas funções. Parece que tenho uma das funções bem aqui: ln x. Mas pode ficar um pouco mais claro se eu reescrever isso como ∫(ln x) vezes 1dx. Agora você tem o produto de duas funções. Um deles é uma função, uma função de x. Não é de fato dependente de x, será sempre o 1, mas você pode ter f(x) = 1. Agora pode tornar-se um pouco mais óbvio usar a integração por partes. A integração por partes nos diz que temos uma integral que pode ser vista como produto de uma função e a derivada de outra função. Isso, na verdade, é apenas o inverso da regra do produto. Nós já mostramos isso diversas vezes. Então, isso vai ser igual ao produto das duas funções, f(x) vezes g(x), menos a antiderivada de... Em vez de ter f e g', você terá f' e g. Então, f'(x) vezes g(x) vezes dx. Vimos isso diversas vezes. Então, quando você descobrir quanto deve ser f e quanto deve ser g... Para f, você quer descobrir algo que é fácil para derivar. Isso simplificará as coisas. Para g'(x), você quer descobrir algo que torna fácil de calcular a antiderivada. Então, um bom candidato para o f(x) é o ln x. Se você tomar a derivada disso, é 1/x. Digamos que f(x) = ln x. Então, f'(x) = 1/x. Vamos definir g'(x) = 1. Então, g'(x) = 1. Isso significa que g(x) pode ser igual a x. Então, vamos voltar para cá. Isso será igual a f(x) vezes g(x). Bom, f(x) vezes g(x) é igual a x vezes ln x. Então, g(x) é x, e f(x) é ln x. Eu gosto de escrever o x na frente do ln para evitar ambiguidade. Então, isso é x vezes ln x menos a antiderivada de f'(x), que é 1/x vezes g(x), que é x, vezes dx. Bom, isso será igual ao quê? O que temos dentro, o integrando, é apenas 1/x vezes x, que é apenas igual a 1. Então, isso simplifica bastante. Isso vai acabar sendo igual a x vezes ln x menos a antiderivada de apenas dx, a antiderivada de 1 dx, ou integral de 1 dx. O que, no final, é apenas -x. E isso é apenas a antiderivada disso. Se quiséssemos reescrever toda a classe de antiderivadas, nós teríamos apenas que adicionar mais um C aqui. E acabamos! Nós descobrimos a antiderivada do ln x. Eu te encorajo a calcular a derivada disso. Para esta parte, você usará apenas a regra do produto. Verifique que, de fato, você chega a ln x quando calcula a derivada disso.