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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 17: Integração por partes- Introdução à integração por partes
- Integração por partes: ∫x⋅cos(x)dx
- Integração por partes: ∫ln(x)dx
- Integração por partes: ∫x²⋅𝑒ˣdx
- Integração por partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
- Integração por partes
- Integração por partes: integrais definidas
- Integração por partes: integrais definidas
- Desafio de integração por partes
- Revisão de integração por partes
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Integração por partes: ∫ln(x)dx
Exemplo resolvido do cálculo de uma integral indefinida usando a integração por partes, em que o integrando não é um produto. Versão original criada por Sal Khan.
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- quem é esse professor #khanacademy(1 voto)
- derivando chega a ln(x)-1, não?(1 voto)
- Na verdade não, Erik. Para derivar x * ln(x) usamos a regra da cadeia, que encontra
1 * ln(x) + x * ( 1 / x ) = ln(x) + 1. Daí podemos adicionar o ( - 1 ) que você encontrou derivando - x , e chegamos em ln(x).(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA14C O objetivo deste vídeo
é tentar descobrir a antiderivada do
logaritmo natural de x (ln x). Não é completamente óbvio
como abordar isso. Primeiramente, mesmo se
eu disser para você usar a integração por partes, você diria:
"Integração por partes?". Você está procurando a antiderivada de algo, que pode ser expressada como
o produto de duas funções. Parece que tenho uma
das funções bem aqui: ln x. Mas pode ficar um pouco mais claro se eu reescrever isso como ∫(ln x) vezes 1dx. Agora você tem o produto
de duas funções. Um deles é uma função,
uma função de x. Não é de fato dependente de x,
será sempre o 1, mas você pode ter f(x) = 1. Agora pode tornar-se
um pouco mais óbvio usar a integração por partes. A integração por partes nos diz
que temos uma integral que pode ser vista como
produto de uma função e a derivada de outra função. Isso, na verdade, é apenas
o inverso da regra do produto. Nós já mostramos isso diversas vezes. Então, isso vai ser igual ao
produto das duas funções, f(x) vezes g(x),
menos a antiderivada de... Em vez de ter f e g', você terá f' e g. Então, f'(x) vezes g(x)
vezes dx. Vimos isso diversas vezes. Então, quando você descobrir quanto deve ser f
e quanto deve ser g... Para f, você quer descobrir algo
que é fácil para derivar. Isso simplificará as coisas. Para g'(x), você quer descobrir algo que torna fácil de calcular
a antiderivada. Então, um bom candidato
para o f(x) é o ln x. Se você tomar a derivada disso, é 1/x. Digamos que f(x) = ln x. Então, f'(x) = 1/x. Vamos definir g'(x) = 1. Então, g'(x) = 1. Isso significa que g(x)
pode ser igual a x. Então, vamos voltar para cá. Isso será igual a f(x) vezes g(x). Bom, f(x) vezes g(x)
é igual a x vezes ln x. Então, g(x) é x, e f(x) é ln x. Eu gosto de escrever o x
na frente do ln para evitar ambiguidade. Então, isso é x vezes ln x menos a antiderivada de f'(x), que é 1/x vezes g(x),
que é x, vezes dx. Bom, isso será igual ao quê? O que temos dentro, o integrando, é apenas 1/x vezes x, que é apenas igual a 1. Então, isso simplifica bastante. Isso vai acabar sendo
igual a x vezes ln x menos a antiderivada de apenas dx, a antiderivada de 1 dx, ou integral de 1 dx. O que, no final, é apenas -x. E isso é apenas
a antiderivada disso. Se quiséssemos reescrever
toda a classe de antiderivadas, nós teríamos apenas que
adicionar mais um C aqui. E acabamos! Nós descobrimos a antiderivada do ln x. Eu te encorajo a calcular
a derivada disso. Para esta parte, você usará
apenas a regra do produto. Verifique que, de fato,
você chega a ln x quando calcula a derivada disso.