Integração por partes: integrais definidas

RKA14C E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver integrações por partes de integrais definidas. Para isso, vamos resolver a integral de ∫ 0 até π de x vezes cos(x) dx. Como sempre, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Aqui nós não temos uma integral simples na qual bastaria achar a antiderivada e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo utilizando esse intervalo. Nós vamos precisar de uma técnica um pouco mais sofisticada. Quando você tem um produto entre duas funções, e é bem fácil encontrar a derivada de uma delas, isso é um sinal de que devemos utilizar a integração por partes. Veja bem, nós temos o produto entre duas funções, e é muito fácil encontrar a derivada de x, que é 1. Vamos relembrar a integração por partes. Se eu tiver ∫ f(x) vezes g'(x) dx... Eu vou colocar aqui "indefinida", mas depois eu vou avaliar nesse intervalo. Isso vai ser igual a função f(x) vezes g(x) menos ∫ f'(x) vezes g(x) dx. Só para eu relembrar o que disse em outra aula: se você quer encontrar um f(x), quando tirarmos a sua derivada, isso vai simplificar o f(x). Se você tirar a antiderivada de g(x), não fica mais complicada. Basicamente, quando utilizamos a integração por partes, pegamos a função f e a derivamos, ela vai ficar simplificada. Enquanto, na derivada de g, nós vamos pegar a sua antiderivada e não vai ficar mais complicada. Por causa disso, essa expressão é mais fácil de ser encontrada. Vamos fazer isso, então. Entre x e cosseno de x, qual é a derivada mais fácil de se encontrar? Obviamente, a derivada de x é mais fácil: é 1. Então, este x aqui vai ser o f(x). f(x) = x. f'(x) = 1. E qual é a derivada de g(x)? Esta aqui é a função g(x). Se eu encontrar a antiderivada, isso não vai ficar mais complicado. O que estou querendo dizer aqui é que encontrar a derivada da função f(x) é algo fácil. E encontrar a antiderivada de g(x) não é algo tão complicado. Então, g'(x) = cos(x). ∫ cos(x) é g(x) = sen(x). Finalmente, nós podemos utilizar a integração por partes. Então, isto aqui vai ser igual a f(x) vezes g(x)... Portanto, vamos ter x vezes g(x), que é igual a seno(x), menos a integral da derivada de x. E a derivada de x é 1. Então, ∫ 1 vezes g(x), que é igual a sen(x) dx. Claro que eu não preciso colocar esse 1 aqui. Eu poderia simplesmente colocar sen(x) dx. Deixa eu apagar o 1, então. Agora podemos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo nesse intervalo, ou seja, de 0 até π, para toda essa expressão. Mas qual é a integral indefinida de sen(x) dx? Sabemos que a derivada do cosseno é menos o seno. Para chegar a esse resultado, nós podemos mudar este sinal e colocar um menos aqui. Agora, sim: ∫ -sen(x) dx = cos(x). Agora, nós podemos utilizar o intervalo. Substituindo o π, ficaremos com: π vezes sen(π) + cos(π). Subtraímos isso substituindo o zero. Então, menos 0 vezes sen(0) + cos(0). sen(π) = 0, portanto, isto vai ser cancelado. cos(π) = -1. Isto aqui vai 0. E cos(0) = 1. Aí, você vai ter -1 - 1 = -2. Ou seja, resolvemos essa integral utilizando integração por partes. Eu espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!