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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 17: Integração por partes- Introdução à integração por partes
- Integração por partes: ∫x⋅cos(x)dx
- Integração por partes: ∫ln(x)dx
- Integração por partes: ∫x²⋅𝑒ˣdx
- Integração por partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
- Integração por partes
- Integração por partes: integrais definidas
- Integração por partes: integrais definidas
- Desafio de integração por partes
- Revisão de integração por partes
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Integração por partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
Exemplo resolvido do cálculo de uma integral indefinida aplicando duas vezes a integração por partes e, então, obtendo uma equação para a integral indefinida desejada. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- qual a integral de cos(x)*x^(1/2)dx?(3 votos)
- g(x).f'(x) = cos(x^(1/2)).
A tentativa mais simples é fazer f(x) = sen(x^(1/2)). Logo
f'(x)= (1/2).(x^(-1/2)).cos(x^(1/2))
Logo devemos tomar g(x)= 2.(x^(1/2)) para que tenhamos.
g(x).f'(x) = cos(x^(1/2)).
Então g'(x) = x^(-1/2)
Agora aplicando integração por partes:
Integral cos(x^(1/2)) dx =
= Integral g(x).f'(x) = g(x).f(x) - Integral g'(x).f(x) dx=
= 2.(x^(1/2)).sen(x^(1/2)) - Integral (x^(-1/2)).sen(x^(1/2)) dx =
= 2.(x^(1/2)).sen(x^(1/2)) + 2.cos(x^(1/2))(3 votos)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Neste vídeo, vamos ver
algumas propriedades da derivada e aplicarmos em integrais. Vamos supor que você tenha
duas funções multiplicadas, f(x) vezes g(x). Se você quiser tirar a derivada
em relação a "x", você vai ter a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes
a derivada da segunda. Vamos, agora, integrar de ambos os lados. Ficamos com f(x) g(x),
igual à integral de f'(x) g(x) dx, mais a integral de f(x) g'(x) dx. Vamos esquecer, por enquanto,
as constantes. Vamos passar este termo para cá,
subtraindo. Portanto, ficamos com a integral de f(x) g'(x) dx vai ser igual a f(x) g(x)
menos a integral de f'(x) g(x) dx. Vamos ver se conseguimos
aplicar esta propriedade em uma integral que queremos
saber o resultado. Vamos supor que queremos integrar
"e" elevado a "x" cosx dx. Ora, podemos chamar o f(x) de eˣ. E, obviamente, o f'(x) que é derivada,
vai ser "e" elevado a "x". O nosso g'(x) é cosx. Então, nós temos g'(x) = cosx. Portanto, nosso g(x)
vai ser igual ao nosso senx. Agora, vamos expandir, f(x) é "e" elevado a "x",
g(x) é senx, menos a integral de f'(x)
é "e" elevado a "x" e g(x) é senx, tudo "dx". Ainda não dá para simplificar
esta expressão, mas podemos aplicar novamente
esta propriedade para esta integral. Nós temos a integral de "e" elevado a "x" senx dx. Ora, podemos chamar f(x)
de "e" elevado a "x". Obviamente, f'(x) vai ser a derivada,
que vai ser "e" elevado a "x". O nosso g'(x) é senx. Então, nós temos que g'(x) = senx. Portanto, nosso g(x)
vai ser igual a -cosx. Então, esta integral fica f(x) vezes g(x). f(x) é "e" elevado a "x". g(x) é -cosx. Menos, a integral de f'(x)
é "e" elevado a "x", vezes g(x) é -cosx,
tudo "dx". Podemos substituir esta expressão aqui. Ou seja, pegamos tudo isso aqui e jogamos nesta expressão. O que é que nós vamos ter? Nós temos que a integral
de "e" elevado a "x" cosx dx, vai ser igual a "e" elevado a "x" senx, menos toda esta expressão aqui. Aqui é menos com menos, vai dar mais. Portanto, vai dar mais
"e" elevado a "x" cosx. Aqui nós temos menos com menos,
dá mais, com menos dá menos. Portanto, vamos ter menos a integral de "e" elevado a "x" cosx dx. Agora, temos duas parcelas bem parecidas. A gente pode passar para cá somando, temos 2 vezes a integral de
"e" elevado a "x" cosx dx é igual a "e" elevado a "x" senx, mais "e" elevado a "x" cosx. Então, temos a integral
de "e" elevado a "x" cosx dx, que é a integral que nós queríamos fazer, é igual a 1/2 de
"e" elevado a "x" senx, mais "e" elevado a "x" cosx. Ainda podemos colocar em evidência
o "e" elevado a "x". Então, temos que a integral de
"e" elevado a "x" cosx dx vai ser igual a "e" elevado a "x" sobre 2, vezes o senx + cosx. Ora, esta expressão
é bastante interessante. Eu passei a integral
desta outra expressão. Obviamente, vamos soma mais uma
constante "c" que tinha faltado. Espero que este vídeo
tenha sido útil.