Raciocínio para a segunda parte do teorema fundamental do cálculo

RKA8JV - Vamos considerar S(t) uma função da posição em relação ao tempo. E eu vou traçar no gráfico um possível S(t) aqui. Temos no eixo horizontal, o eixo do tempo, e eu vou traçar uma parábola aqui. Eu poderia ter feito de outra maneira, mas eu vou traçar uma parábola porque é mais fácil de entender. Vamos chamar este outro eixo aqui de eixo de "y", e vamos dizer que "y = S(t)", para a gente poder ter um gráfico da posição em função do tempo. Vamos pensar no que acontece se a gente quiser refletir um pouco acerca da mudança de posição entre dois tempos. Por exemplo: entre o tempo "a", que vamos marcar aqui, e o tempo "b", que vamos marcar aqui. Então, qual seria a mudança de posição entre o tempo "a" e o tempo "b"? Bem, no tempo "b", estamos na posição S(b), e no tempo "a", estamos na posição S(a). Então, a mudança de posição entre os tempos "a" e "b", e pode até parecer algo fácil, mas isso é muito importante. Essa mudança de posição entre os tempos "a" e "b" vai ser igual a S(b) - S(a). Isso não é muito complicado, não é? Bem, vamos pensar então no que acontece se a gente determinar a derivada desta função aqui. O que acontece se calcularmos a derivada de uma posição em função do tempo? Lembre-se, a derivada nos dá o ângulo de inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Então, se considerarmos um ponto aqui, o ângulo de inclinação da reta tangente que passa neste ponto é a derivada, e vai nos mostrar para uma mudança muito pequena em "t", claro, eu vou dar uma exagerada visualmente. Para uma mudança muito pequena em "t", o quanto que vai mudar na posição. Então por isso escrevemos aqui, dS/dt, que é derivada da função posição em relação ao tempo. Agora observe bem, estamos falando da taxa de mudança da posição em função do tempo. Isso seria o quê? Bem, isso é a velocidade. Então, isso aqui é igual à velocidade. Deixe-me escrever aqui de uma forma diferente. Então esse dS/dt, que será algo em função do tempo, será igual a S'(t), lembre-se, são dois modos diferentes de escrever a derivada de "S" em função do tempo. Isso deixa até um pouco mais claro que isso é diretamente uma função do tempo. E nós sabemos que isso é exatamente a mesma coisa que a velocidade em função do tempo, que nós podemos expressar como V(t). Vamos traçar como seria o gráfico de V(t) nesse contexto? Eu vou colocar o outro eixo aqui embaixo, que se parece bastante com o original, só que aqui eu vou colocar a V(t) no gráfico. Isto aqui vai ser novamente o meu eixo "y" e isso aqui vai ser o meu eixo "t". E aí, eu vou desenhar o gráfico de "y" sendo igual a V(t). Se isto aqui em cima é realmente uma parábola, a inclinação aqui é zero, ou seja, a taxa de mudança é zero e depois segue aumentando. A inclinação vai aumentando mais e mais, então este gráfico, y = V(t), tem esta forma aqui. Ok, agora vamos usar um pouco deste gráfico para começar a pensar e poder conceituar a distância ou a mudança da posição entre os tempos "a" e "b". Novamente, a gente vai voltar lá na soma de Riemann. Vamos pensar no que a área de um pequeno retângulo representa e vamos dividir isso em vários retângulos. Eu vou fazer aqui em retângulos maiores para a gente ter espaço para trabalhar, tudo bem? Mas vamos imaginar que eles são muito menores do que isso. Aí, eu vou fazer a soma de Riemann à esquerda, porque nós fizemos isso muitas vezes, mas também poderíamos fazer à direita, enfim, qualquer outra que a gente quisesse. Bem, deixa eu fazer 3 retângulos aqui, com uma aproximação, mas você pode imaginar mais próximos, tudo bem? Agora, o que seria a área de cada um desses retângulos? Isso aqui seria uma aproximação do quê? Bem, esse aqui é f(a), ou poderíamos dizer V(a). Então, a velocidade no tempo "a" teria esta altura aqui, e a distância é esta aqui, que é uma mudança no tempo Δt. Então, a área do retângulo é a velocidade neste momento multiplicada pela mudança no tempo. Agora, o que seria a velocidade neste momento multiplicada pela variação do tempo? É exatamente a variação na posição. Então isso daqui te daria uma boa aproximação da variação da posição nesse intervalo de tempo. A área deste retângulo aqui também é uma aproximação para variação da posição nesse intervalo de tempo. E aí, você pode imaginar isto aqui como sendo uma aproximação da variação da posição para o próximo intervalo de tempo. Agora, se você quer realmente entender a variação da posição entre os tempos "a" e "b", você poderia fazer uma soma de Riemann, e aí chegar a uma boa aproximação. Para isso, você vai fazer o somatório "i = 1" até "n" para a soma de Riemann à esquerda. Mas novamente, poderíamos usar um ponto médio, um ponto à direita, enfim, qualquer outro ponto para fazer a soma de Riemann. Eu vou fazer à esquerda porque eu já coloquei V(t) aqui, tudo bem? Então, isso aqui seria t₀, que seria "a", e este é p primeiro retângulo. Para o primeiro retângulo, você usa a função avaliada em t₀. Para o segundo, você usa a função avaliada em t₁. Já fizemos isso em vários outros vídeos. E então, multiplicamos isto por cada mudança no tempo, e isso será uma aproximação do nosso total, onde Δt = (b - a) dividido pelo número de intervalos. Já sabemos de muitos vídeos que, quando temos a soma de Riemann, teremos uma boa aproximação para duas coisas. Como já falamos, para a variação da posição, mas também será uma aproximação para a nossa área. Como você pode ver aqui, estamos fazendo uma aproximação da mudança de posição. Isso também é a aproximação da área abaixo da curva. Bem, eu espero que isso te satisfaça. Se você quiser calcular a área abaixo da curva, é muito fácil fazer isso porque isso aqui é um trapezoide. Mas mesmo que fosse uma função, daria para fazer da mesma forma. Afinal, podemos calcular a área abaixo da curva da função da velocidade, e com isso, nós estaríamos calculando a variação da posição. Estas duas são as mesmas coisas. E já sabemos o que fazer para determinar a área abaixo da curva, não é? Ou seja, para ter exatamente a variação da posição. Bem, como temos muitos retângulos, podemos usar o limite como o número de retângulos, e aí vamos usar o limite quando "n" tende ao infinito. Lembrando que Δt = (b - a)/n. Então quando "n" tende ao infinito, nós vamos ter um Δt infinitamente pequeno. Uma maneira de pensar isso é a gente transformar esse Δt em "dt". Nós já aprendemos a trabalhar com essa notação, não foi? Esta aqui é uma maneira de pensar em uma integral de Riemann. Usamos a soma de Riemann à esquerda, novamente falando, a gente poderia usar a soma à direita, ou qualquer outra soma de Riemann, que vai funcionar da mesma forma. Isso aqui vai ser integral definida indo de "a" até "b" de V(t)dt. Essa é uma forma de determinar a área abaixo da curva para a função velocidade, que será exatamente a variação da posição entre os tempos "a" e "b". Ou seja, o limite desta soma de Riemann quando "n" tende ao infinito é igual à integral definida indo de ''a" até "b" para V(t)dt. Conseguiu entender essas ideias? Vamos recapitular aqui. Nós já descobrimos antes, que a variação da posição entre "a" e "b" é isto aqui. Então, fica mais interessante, nós temos uma forma de avaliar esta integral definida. Conceitualmente, sabemos que isso aqui corresponde à variação da posição entre os pontos "a"e "b". Mas a gente descobriu uma forma de determinar exatamente a variação da posição entre os tempos "a" e "b". Então, vou escrever isso aqui. Temos que a integral definida entre "a" e "b" de V(t)dt é igual a S(b) - S(a). Sabemos que V(t) é a derivada de S(t)dt, então, podemos dizer que S(t) é a antiderivada de V(t). E essa definição, apesar de estar escrita de uma forma um pouco mais tradicional, eu usei posição e velocidade, é o segundo teorema fundamental do cálculo. Bem, e qual é o primeiro? Bem, a gente já falou sobre ele em outro vídeo. Esse é um modo muito útil de avaliar integrais definidas e de encontrar áreas abaixo de curvas. Agora porque o segundo teorema fundamental do cálculo é tão importante? Deixe-me reescrever esse teorema de uma forma mais genérica, da forma que você está mais acostumado a ver em seu livro de Cálculo. Bem, se queremos a área abaixo da curva entre os pontos "a" e "b" de f(x)dx, é esta notação aqui que nós vamos utilizar. Deixe-me desenhar isso aqui para ficar mais claro que eu estou falando em termos gerais. Essa aqui será a nossa f(x), e nós queremos a área abaixo da curva entre os pontos "a" e "b". Se queremos achar exatamente a área, nós podemos calcular antiderivada de "f". Vamos dizer então que F(x) é a antiderivada, ou uma antiderivada, porque você pode ter várias coisas diferenciadas apenas por constantes, então, teremos uma antiderivada de "F". Então, basta avaliar a antiderivada nos pontos finais e subtrair. Subtrair pela antiderivada avaliada no ponto inicial. Então, você tem "F(b) - F(a)". Assim, se buscamos a área exata abaixo da curva, basta calcular sua antiderivada avaliada no ponto final, e a partir daí, subtrair com a antiderivada avaliada no ponto inicial. Bem, eu espero que isso faça sentido para você, e nós vamos aplicar um pouco mais desse teorema nos próximos vídeos.