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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 20: Vídeos de demonstraçãoDemonstração do teorema fundamental do cálculo
A primeira parte do teorema fundamental do cálculo nos diz que, se definimos 𝘍(𝘹) como a integral definida da função ƒ, de uma constante 𝘢 até 𝘹, então 𝘍 é uma primitiva de ƒ. Em outras palavras, 𝘍'(𝘹)=ƒ(𝘹). Veja por que é assim. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Vamos dizer que nós temos
uma função "f", que é contínua, no intervalo indo de "a" até "b". Se traçarmos o gráfico dessa função, teríamos algo mais ou menos desta forma. Aqui teríamos o "y", aqui a gente teria o eixo "t" e aqui a gente teria a função, em que essa função seria y = f(t). Eu falei que "f" é contínua dentro
desse intervalo indo de "a" até "b", então, aqui a gente tem o ponto "a" e aqui temos o ponto "b". Nós teríamos f(a) aqui, f(b) aqui e aqui teríamos toda esta área
abaixo desta curva. Agora que já temos isto,
vamos fazer o seguinte: vamos dizer que a gente
tenha uma função F(x) em que essa função F(x) seja igual à integral indo de "a" até
um ponto "x" qualquer de f(t) dt. Bem, esta é a função f(t). E estamos dizendo que F(x) é igual à integral indo de "a"
até um ponto "x" de f(t) dt, onde esse "x" está dentro desse
intervalo indo de "a" até "b". Então, vamos dizer que a gente
tenha aqui um ponto "x", em que esse "x" está dentro desse intervalo. Vamos escrever isso: onde "x"
é maior ou igual a "a" e que é menor ou igual a "b". "x" está dentro desse intervalo
indo de "a" até "b". Você poderia até me dizer agora:
"Olha só, professor, aqui a gente tem que esta integral
é a antiderivada desta função, não é?" Mas vamos assumir, por um pequeno
momento, que a gente não sabe disso. Afinal de contas, é o que nós estamos
querendo demonstrar neste vídeo. Por outro lado, sabemos que esta
integral corresponde a quê? À área abaixo da curva em relação
a esta função y = f(t), isto indo do intervalo "a" até "x". Então, o resultado desta integral
que corresponde à área vai de "a" até "x", esta área aqui. É a partir desta ideia é que a gente
vai chegar à conclusão de que a integral de uma função é
igual à sua antiderivada. Mas vamos dizer que agora a gente
queira calcular a derivada desta função. Nós vamos ter F'(x) sendo igual a... Como é que a gente calcula
a derivada pela definição? A derivada desta função é igual
ao limite de Δx tendendo a zero de F(x + Δx), menos F(x), tudo isso dividido por Δx. Temos que a derivada de uma função
é igual ao limite de Δx tendendo a zero de F(x + Δx) - F(x), sobre Δx. Isto vai ser igual a o quê? Sabemos que F(x) é igual a esta integral. Então, F(x + Δx) vai ser igual à integral de f(t) dt indo
de "a" até (x + Δx) e F(x) é esta própria integral aqui. Podemos até colocar que isto é igual ao limite de Δx tendendo a zero da integral indo de "a" até (x + Δx) de f(t) dt - F(x), que é a integral indo de "a" até "x" de F(t) dt, tudo isso dividido pelo Δx. Mas o que representa isto? Sabemos que a integral de uma função
é a área abaixo da curva. Como estamos querendo integrar
de zero até (x + Δx), e aqui a gente tem o "x", então, (x + Δx) está um pouco à frente de "x". E antes de "b", claro. Tem que estar
definido neste intervalo. Tudo tem que estar definido neste
intervalo, ser contínuo neste intervalo. Então, temos aqui (x + Δx). Quando calculamos a integral indo
de zero a (x + Δx) desta função f(t) dt, temos toda esta área aqui, que vai desde "a" até (x + Δx),
abaixo desta curva. Toda esta área verde corresponde
ao resultado desta integral. E nós já vimos antes que o resultado desta integral f(t) dt
indo de "a" até "x" é esta área azul aqui. Quando calculamos essa diferença
entre estas integrais, estamos pegando toda esta área aqui e tirando esta parte da área. Então, na verdade,
a gente vai ter esta área aqui, que vai de "x" até (x + Δx). O resultado da diferença entre estas integrais vai nos dar como resposta esta pequena área. C, como observamos aqui,
a gente pode dizer que esta área vai ser igual à integral indo de "x" até
(x + Δx) da função f(t) dt. Esta área nós podemos dizer
que é igual à integral indo de "x" a (x + Δx) de f(t) dt. Logo, a derivada desta função, ou seja, F'(x), é igual ao limite de Δx tendendo a zero de 1/Δx, vezes a integral indo de "x"
até (x + Δx) de f(t) dt. Esta expressão é muito interessante
porque ela lembra alguma coisa. Ela lembra o teorema do valor intermediário. Mas o que seria este teorema
do valor intermediário? O teorema do valor intermediário...
Vou escrever aqui. O teorema do valor intermediário das integrais definidas diz que existe um "c", e o que seria este "c"? Este "c" seria um ponto que estivesse
mais ou menos aqui. Então, a gente teria que um ponto "c",
um t = c. Só que esse "c" tem que estar dentro
desse intervalo de "x" até (x + Δx). Vamos escrever isso também: onde "c" tem que ser maior ou igual a "x" e menor ou igual a (x + Δx). "c" tem que estar definido dentro deste intervalo. O teorema do valor intermediário
das integrais definidas diz que existe um "c", que está definido
neste intervalo, tal que f(c)... O que seria f(c)? Se a gente pegar que esse ponto "c"
e calcular aqui na função, vamos encontrar este f(c). Aqui vai estar o f(c), que vai encontrar a função neste ponto. Então, aqui vai estar o ponto (c, f(c)). E claro, obviamente,
aqui tem uma certa altura. E essa altura é igual ao próprio f(c). E aqui nós temos uma base. Essa base corresponde exatamente a Δx, já que aqui temos "x" e, aqui, (x + Δx). Esta base é Δx. Se pegamos essa função f(c)
e multiplicamos por Δx... Vamos multiplicar aqui, f(c) vezes Δx. Nós teremos algo igual à área
abaixo desta curva. Então, todas as vezes que a gente
pegar este ponto "c", pegar essa função f(c) e multiplicar por Δx, que é a base desta figura formada aqui, vamos encontrar algo exatamente
igual à área abaixo da curva neste intervalo entre "x" e (x + Δx). E como a gente calcula a área baixo desta curva? A área abaixo desta curva vai ser igual
à integral indo de "x" até (x + Δx) da função f(t) dt. É isso que o teorema do valor
intermediário diz: diz que existe esse "c", definido no intervalo
indo de "x" até (x + Δx), em que, se a gente pegar esta função f(c) e multiplicar por esta base Δx, vamos encontrar a área abaixo
da curva nesse intervalo. E a área abaixo da curva nesse intervalo é igual à integral indo de "x" até
(x + Δx) de f(t) dt. Uma outra forma de escrever esse
teorema do valor intermediário é dizer que f(c) é igual a 1/Δx, vezes a integral indo de "x" até (x + Δx) de f(t) dt. E, se você prestar bem atenção, vai ver
que, de fato, isso faz muito sentido porque, se você quer esta função, em que
esta função é o valor médio neste intervalo, você vai pegar toda área abaixo
da curva, que é isto, e vai dividir pela base, que é o Δx. Assim, você vai encontrar esta função
f(c), que é o valor médio. E é interessante ver isso porque tudo isto é exatamente
igual a esta parte. Com isso, podemos dizer
que a derivada de F(x) vai ser igual ao limite de Δx tendendo
a zero de toda esta parte aqui, em que tudo isto é igual a f(c). E o motivo de a gente poder fazer isso
é exatamente devido a isto, em que este "c" está definido no intervalo
indo de "x" até (x + Δx). Vamos escrever tudo isso. Vamos escrever que existe um "c" no intervalo indo de "x" até (x + Δx), onde nós temos que a derivada de F(x) é igual ao limite de Δx tendendo a zero de f(c), já que, neste intervalo indo de "x" até
(x + Δx), 1/Δx vezes a integral indo de "x" até
(x + Δx) de f(t) dt é igual a f(c). Vamos fazer alguns comentários agora sobre
esses limites. Vamos voltar aqui em cima. A gente sabe que "c" está dentro
deste intervalo. E estamos querendo calcular o limite
quando Δx tende a zero. Quando Δx tende a zero, estamos
falando que esta barra vertical está indo para a esquerda. Se esta barra está indo para a esquerda, ou seja, se aproximando cada vez mais
desta parte azul, e o "c" está dentro deste intervalo, o "c" também vai se aproximar do "x". Dessa forma, podemos dizer que "c"
está tendendo a "x", ou seja, se aproximando de "x", quando Δx está tendendo a zero. Podemos até falar isso de forma intuitiva porque, se você observar aqui, à medida que esta barra amarela
está se aproximando da barra azul, ou seja, quando (x + Δx) está tendendo a "x", o "c" que está aqui no meio também
está tendendo a "x". Assim, à medida que isso ocorre,
a função f(c) também vai tender a f(x). Então, podemos dizer que f(c)
vai tender a f(x) quando Δx está tendendo a zero, já, que se o "c" está se aproximando do "x", o f(c) também vai se aproximar do f(x). Então, se, quando Δx tende a zero, o "c" está tendendo a "x" e o f(c)
está tendendo a f(x), a gente pode simplesmente dizer que
o limite, quando Δx tende a zero, de f(c), vai ser igual a f(x). Ok, você vai até me falar agora:
"Ora, isso é algo intuitivo!" Mas, como estamos fazendo
uma demonstração, será que existe uma forma
mais segura de observar isso? Sim, a gente pode utilizar
o teorema do confronto, dizendo o seguinte: que temos aqui o "x", sendo menor ou igual a uma função c(Δx) que é menor ou igual a (x + Δx). Desta forma, estamos dizendo
que esta função c(Δx) está entre "x" e (x + Δx). A gente sabe que o limite de Δx
tendendo a zero de "x" é igual ao próprio "x". Já que o "x" não depende de Δx,
vai ser o próprio "x". E a gente também sabe que o limite
de Δx tendendo a zero de (x + Δx), se Δx está tendendo a zero, o limite de
(x + Δx) vai ser o próprio "x". Como a gente tem este limite
sendo igual a "x", este limite sendo igual a "x" e a função c(Δx) está dentro deste intervalo, à medida que isto vai
se aproximando do "x", e este, que é o próprio "x", a gente tem que o limite disto
para quando Δx tende a zero vai ter que ser igual ao valor
dos limites dos dois lados Se o limite do lado esquerdo
é igual a "x" e o limite do lado direito é igual a "x", o teorema do confronto diz para a gente que o limite de Δx tendendo a zero de c(Δx) também tem que ser igual ao próprio "x". Por isso podemos falar que, se temos
um limite de Δx tendendo a zero de f(c), isso vai ter que ser igual a f(x). Dessa forma, a gente consegue chegar
a esta conclusão e fazer esta demonstração. Agora, já conseguimos utilizar todas
essas ideias para fazer essa demonstração. E o que a gente fez aqui? Pegamos uma função contínua
em um certo intervalo, definimos uma função que seja
a integral dessa função contínua, indo de "a" até um ponto, ou seja,
um certo intervalo, e aí utilizamos a definição de derivada
para chegar a esta função F(x). Com isso, conseguimos falar que F'(x), ou seja, a derivada desta função, é igual a F(x). Com isso, estamos falando que existe
uma função F(x), definida e contínua em um certo intervalo, em que essa função é igual à derivada
de uma outra função. Ou seja, estamos praticamente falando
que toda função contínua possui uma antiderivada, em que a antiderivada é igual
à integral dessa função. Claro que, antes, a gente falava isso
de forma intuitiva, mas é agora que fizemos
a demonstração disso. E existe uma coisa muito importante
nessa demonstração (e é por isso, inclusive, que é chamado
de teorema fundamental do cálculo): que estas ideias relacionam o cálculo
diferencial com o cálculo integral. Com isso, nós estamos relacionando
a ideia de derivada com a ideia de integral. E, por mais que isso pareça óbvio, porque
estávamos utilizando a todo momento, é devido a todo este processo que a gente
consegue relacionar estes dois cálculos: o cálculo diferencial com o cálculo integral . Então, se existe uma função f(t), que seja contínua em um certo intervalo, nós podemos dizer que existe
uma antiderivada dessa função em que a antiderivada vai nos dizer a área
abaixo da curva dentro desse intervalo.