Integral de sen^2(x) cos^3(x)

RKA3JV - Vamos tomar a integral indefinida de sen²x cos³x dx. Agora, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá! A primeira impressão que temos é que se ao menos fosse apenas senx e não sen²x, bom, aqui temos o oposto da derivada do cosx, talvez possamos usar uma substituição em "u". Aqui, se fosse apenas cosx e não cos³x, também poderíamos ter usado a substituição em "u". Poderia supor "u = senx", mas não posso fazer isso aqui. Assim, a ideia geral aqui é que se um destes tiver um expoente ímpar, e você vê que este aqui tem um expoente ímpar no cosseno, então podemos tentar manipular a expressão para usar a substituição em "u". A maneira que você pode fazer se você tem um expoente ímpar, como neste caso aqui, é separando um dos cossenos e aplicar a relação fundamental da trigonometria, ou do cos². Bom, eu vou reescrever isso aqui. Então, nós vamos ficar com o sen²x vezes cos²x vezes cosx. Eu apenas estou reescrevendo o que está na terceira potência, como algo ao quadrado vezes ele mesmo. E eu não posso esquecer do "dx". E eu ainda posso reescrever isto como o sen²x. E, agora, usaremos a relação fundamental para substituir por 1 - sen²x. Então, pela relação fundamental, sabemos que isto é igual a "1 - sen²x". E teremos cosx dx. Agora, podemos distribuir os termos de sen²x vezes (1 - sen²x). Então, ficaria assim sen²x vezes 1 menos sen²x vezes sen²x. Então, vai ficar a integral indefinida de sen²x - sen⁴x, tudo isso vezes cosx dx. cosx dx E, agora, começa a ficar interessante, porque temos sen² - sen⁴x. Mas, tem a derivada de seno bem aqui. Temos cosseno de "x" a razão de toda a minha manipulação. Aqui a substituição em "u" vai funcionar muito bem. Se nós tomarmos u = senx, então du = cosx dx. Funciona muito bem, pois temos "du" bem aqui. E aqui será u² - u⁴. E sabemos determinar sua antiderivada. Então, vamos continuar reescrevendo isto aqui. Nós podemos reescrever isto como a integral indefinida. Como nós substituímos o senx por "u", podemos escrever assim: (u² - u⁴) du. Bom, isto é muito simples! Agora, nós temos u³/3 - u⁵/5 + c. Agora, é só fazer a substituição inversa trocando "u" por senx. Então, nós ficaremos com sen³x sobre 3 menos sen⁵x sobre 5. Deixe-me escrever isto direito. sen³x/3 - sen⁵x/5 + c. E terminamos!