Integral de sen^4(x)

RKA3JV - Vamos supor que você queira integrar o sen⁴x dx. Vimos, em vídeos anteriores, como fazer quando o expoente é ímpar, tipo sen³x. Nós podemos dizer que sen²x vezes o senx. Resolvemos por identidades trigonométricas. Mas como fazer aqui quando temos um expoente par? Nós podemos fazer a identidade trigonométrica entre o arco e o dobro do seu arco. Ou seja, o sen²x é igual a 1/2 (1 - cos2x). Ora, então podemos reescrever esta integral como sendo o (sen²x)² dx. Substituímos o sen²x pelo que é o sen²x em função do seu dobro do arco. Então, reescrevendo essa integral, nós temos a integral de 1/2 (1 - cos2x)² dx. 1/2² é 1/4. Podemos tirar de dentro da integral, vamos ficar com 1/4 da integral do quadrado do primeiro menos 2 vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo, isto tudo "dx". Mas temos agora um cos²2x. Podemos aplicar a identidade trigonométrica que relaciona o cos²2x com o dobro do seu ângulo, que é 1/2 de 1 mais o cosseno do dobro deste ângulo, que, no caso, vai ser 4x. Então, substituímos cos²2x pelo que ele é. Ou seja, aqui podemos abrir e fica 1/2 + 1/2 vezes o cos4x. Reescrevendo, nós temos 1/4 da integral de 1 - 2cos2x + 1/2 + 1/2cos4x. Isto tudo "dx". Podemos somar 1 com 1/2 que é 3/2. Então, nós temos 1/4 da integral de 3/2 - 2cos2x. Fazendo a regra da cadeia inversa, nós temos sen2x. Então, vamos deixar do jeito que está. Então, temos 2cos2x. Agora, cos4x. Fazendo pela regra da cadeia inversa, teríamos sen4x que a derivada é 4cos4x. Então, podemos colocar desta forma, 1/8 vezes 4cos4x, isto tudo aqui "dx". Agora, sim, podemos integrar. Temos 1/4 vezes 3x/2. Pela regra da cadeia, nós temos -sen2x. Agora, temos mais 1/8 sen4x. Isto tudo somado com uma constante. Eu espero que este vídeo tenha sido útil.