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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 15: Integração usando identidades trigonométricasIntegral de sen^4(x)
É um pouco complicado, mas podemos usar integração por substituição para calcular a integral de sen^4(x).
Quer participar da conversa?
- ema formula de, seno ao quadrado de x, é dita com 1/2... onde isso deveria estar na formula? 0:45(3 votos)
- Demonstração que sin²x = 1/2 * (1 - cos2x), citada em0:52
Identidades trigonométricas
sin²x = 1 - cos²x (Eq. 1)
cos2x = cos²x - sin²x (Eq. 2)
Substituindo (Eq. 2) em (Eq. 1) fica:
sin²x = 1 - (cos2x + sin²x)
= 1 - cos2x - sin²x
Somando sin²x de ambos os lados da equação:
2sin²x = 1 - cos2x
Dividindo-se ambos os lados da equação por 2:
sin²x = 1/2 * (1 - cos2x)(2 votos)- Valeu, meu nobre(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Vamos supor que você
queira integrar o sen⁴x dx. Vimos, em vídeos anteriores, como fazer quando o expoente
é ímpar, tipo sen³x. Nós podemos dizer que sen²x vezes o senx. Resolvemos por identidades
trigonométricas. Mas como fazer aqui quando
temos um expoente par? Nós podemos fazer
a identidade trigonométrica entre o arco
e o dobro do seu arco. Ou seja, o sen²x é igual a 1/2 (1 - cos2x). Ora, então podemos
reescrever esta integral como sendo o (sen²x)² dx. Substituímos o sen²x pelo que é o sen²x em função do seu dobro do arco. Então, reescrevendo essa integral,
nós temos a integral de 1/2 (1 - cos2x)² dx. 1/2² é 1/4. Podemos tirar de dentro da integral, vamos ficar com 1/4 da integral do
quadrado do primeiro menos 2 vezes o primeiro
pelo segundo, mais o quadrado do segundo,
isto tudo "dx". Mas temos agora um cos²2x. Podemos aplicar
a identidade trigonométrica que relaciona o cos²2x com o dobro do seu ângulo,
que é 1/2 de 1 mais o cosseno do dobro
deste ângulo, que, no caso, vai ser 4x. Então, substituímos
cos²2x pelo que ele é. Ou seja, aqui podemos abrir e fica 1/2 + 1/2 vezes o cos4x. Reescrevendo, nós temos
1/4 da integral de 1 - 2cos2x + 1/2 + 1/2cos4x. Isto tudo "dx". Podemos somar 1 com 1/2 que é 3/2. Então, nós temos 1/4
da integral de 3/2 - 2cos2x. Fazendo a regra da cadeia inversa, nós temos sen2x. Então, vamos deixar do jeito que está. Então, temos 2cos2x. Agora, cos4x. Fazendo pela regra da cadeia inversa, teríamos sen4x que a derivada é 4cos4x. Então, podemos colocar desta forma, 1/8 vezes 4cos4x,
isto tudo aqui "dx". Agora, sim, podemos integrar. Temos 1/4 vezes 3x/2. Pela regra da cadeia, nós temos -sen2x. Agora, temos mais 1/8 sen4x. Isto tudo somado com uma constante. Eu espero que este vídeo tenha sido útil.