Integração com frações parciais

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos fazer uma integração utilizando frações parciais E para isso nós temos essa integral aqui e pode ser que você esteja dizendo aqui no numerador nós temos uma derivada ou um múltiplo constante da derivada do denominador e nesse caso nós poderíamos aplicar a substituição um mas não é o que temos aqui então o que devemos fazer a minha dica é utilizar frações parciais isso é algo que você vê em precalculo ou em cálculo um pouquinho mais avançado Depende muito do curso mas o que essa ferramenta faz é quebrar a expressão na soma de duas frações Racionais E isso acontece porque o denominador tem essas duas expressões ou seja é algo bastante é favorável para utilizar frações parciais basicamente nós vamos pegar a expressão x - 5 / 2 x - 3 e multiplica x - 1 e decompor em duas expressões Racionais no primeiro denominador nós vamos colocar dois x menos 3 2x menos 3 e no segundo denominador nós colocamos x menos 1 mas nós não conhecemos os numeradores e se você não lembra disso Eu sugiro que você deu uma olhada nas aulas de frações parciais da quem Academy tem muitos vídeos sobre isso mas o princípio básico aqui é que o numerador ele vai ter um grau menor do que o seu denominador e como aqui os denominadores tem grau um o numerador vai ser uma constante aqui uma cor e já e aqui uma constante B Agora sim nós podemos resolver essa soma e como fazemos isso basicamente isso aqui é uma soma entre frações com denominadores diferentes e entre tantos meios eu posso multiplicar os denominadores e depois aplicar um produto cruzado Como assim eu posso pegar a que multiplica x - 1 / 2x menos 3 e multiplica x - 1 + b e multiplica 2x menos 3 / 2x menos 3 que multiplica x menos 1 ou seja eu consegui colocar as duas frações com o mesmo denominador Infor causa disso eu posso simplesmente repetir o denominador e somar os numeradores se você fizer isso você vai comparar com esse número a dor Deixa eu fazer isso aqui embaixo eu tenho o mesmo denominador que é 2x menos 3 e multiplica x menos 1 lixo até ajeitar isso aqui aplicando a distributiva E aí eu vou ter a x menos a e aplicando a distributiva aqui eu vou ter dois BX - 3B esse somarmos os numeradores nós vamos somar os termos que tem x e vamos somar as constantes e com isso vamos ter a x + 2bx onde podemos colocar o X em evidência ficando com a + 2B que multiplica x100 - a - 3B eu posso colocar como menos a mais 3B isso pô se comparar com esse numerador e se você comparar essa fração com essa como os denominadores são iguais Então os numeradores são iguais ou seja esse coeficiente está multiplicando o X tem que ser igual ao coeficiente que está multiplicando esse x que é um e essa expressão tem que ser igual a 5 e agora nós podemos montar um sistema de equações com duas incógnitas para determinar o ar e o bebê deixa eu escrever isso aqui nós sabemos que é mais 2 B = 1 e que + 3 B = 5 ou seja nós temos um sistema e você pode resolver ele da maneira que quiser eu vou fazer pelo método da soma é isso eu posso multiplicar toda essa primeira equação por menos um E aí eu vou ter menos a - 2B - 1 e se eu somar as duas equações aqui o menos a e o a vamos se cancelar e - 2B + 3 b = b e menos 1 + 5 = 4 Portanto o b = 4 agora nós podemos substituir ele em uma dessas equações para encontrar o ar eu vou substituir nessa aqui então Ou seja a + 3 B = 5 e aí eu vou ficar com a mais três vezes 4 = 5 ficando com a umas 12 = 5 e portanto o a vai ser igual a menos 7 com isso nós podemos reescrever essa integral colocando a Bom dia sobre 2x menos 3 e como sabemos o ar é igual a menos sete então vamos ficar com menos 7 sobre 2x menos 3 + B sobre x menos 1 e o b = 4 Portanto vamos ficar com quatro sobre x menos 1 deixes e claro se você quiser você pode pausar o vídeo e tentar resolver essa integral que nós já vimos algumas técnicas em aulas passadas e eu vou resolver passo a passo aqui isso vai ser igual a integral colocando esse 2x menos 3 aqui no denominador eu posso colocar esse menos sete para frente da integral ficando com menos sete aqui e um aqui e sabe qual seria o interessante se nós tivéssemos 12 aqui E por quê Porque dois é a derivada de 2x menos 3 esse no numerador nós temos uma função e no denominador a sua derivada então nós podemos fazer a substituição de U E claro se você não lembra dessa substituição eu sugiro que você deu uma olhada nas aulas anteriores e como podemos transformar esse 1 e 2 simples nós podemos multiplicar esse numerador por dois mas quando fazemos isso essa constante deve ser dividida por dois isso porque 2 / 2 vai dar um EA integral não vai ser alterada e claro deixei mais a derivada de x menos 1 é um então nós queremos que apareça um aqui no numerador mas aqui fica mais fácil porque é só colocar o quatro para o Integral ficando com quatro vezes a integral de 1 sobre x menos 1 deixe e resolvendo isso nós vamos ter menos sete e meio vezes essa integral aqui e que se você resolver utilizando substituição você vai ter l e n do módulo de 2x menos 3 então vezes Eliene do módulo de 2x menos 3 + 4 x l e n do módulo de x - 1 e claro essas integrais eu já vim aulas passadas se você não lembra eu sugiro que você deu uma revisada e por ser uma integral indefinida nós devemos somar com uma constante c então isso aqui é o resultado dessa integral eu espero que essa aula um lado e até a próxima pessoal