Integração com frações parciais

RKA14C E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos fazer uma integração utilizando frações parciais. Para isso, nós temos esta integral aqui. Pode ser que você esteja dizendo: "Aqui no numerador temos uma derivada ou um múltiplo constante da derivada do denominador." Nesse caso, nós poderíamos aplicar a substituição u, mas não é o que temos aqui. Então, o que devemos fazer? A minha dica é: utilizar frações parciais. Isso é algo que você vê em pré-cálculo ou em cálculo um pouquinho mais avançado, depende muito do curso. Mas o que essa ferramenta faz é quebrar a expressão na soma de duas frações racionais. Isso acontece porque o denominador tem essas duas expressões. Ou seja, é algo bastante favorável para utilizar com frações parciais. Basicamente, nós vamos pegar a expressão x - 5 dividido por (2x - 3) vezes (x - 1), e decompor em duas expressões racionais. No primeiro denominador, nós vamos colocar 2x - 3... 2x - 3. No segundo denominador, nós colocamos x - 1. Mas nós não conhecemos os numeradores. Se você não se lembra disso, eu sugiro que você dê uma olhada nas aulas de frações parciais da Khan Academy. Tem muitos vídeos sobre isso. O princípio básico aqui é que o numerador vai ter um grau menor do que o seu denominador. Como aqui os denominadores têm grau um, o numerador vai ser uma constante: aqui uma constante A, e aqui uma constante B. Agora, sim, nós podemos resolver essa soma. Como fazemos isso? Basicamente, isso aqui é uma soma entre frações com denominadores diferentes. Entre tantos meios, eu posso multiplicar os denominadores e depois aplicar um produto cruzado. Como assim? Eu posso pegar A vezes (x - 1), dividido por (2x - 3) vezes (x - 1), mais B vezes (2x -3), dividido por (2x - 3) vezes (x - 1). Ou seja, consegui colocar as duas frações com o mesmo denominador. Por causa disso, posso simplesmente repetir o denominador e somar os numeradores. Quando você fizer isso, vai comparar com este numerador. Deixa eu fazer isso aqui embaixo. Eu tenho o mesmo denominador, que é (2x - 3) vezes (x - 1)... Deixa eu ajeitar isso aqui. Aplicando a distributiva, eu vou ter Ax - A. E aplicando a distributiva aqui, eu vou ter 2Bx - 3B. Se somarmos os numeradores, vamos somar os termos que têm x, vamos somar as constantes. Com isso, vamos ter Ax + 2Bx, onde podemos colocar o x em evidência, ficando com (A + 2B) vezes x, menos (A - 3B), que eu posso colocar como menos (A + 3B). Isso porque eu quero comparar com esse numerador. Se você comparar esta fração com esta, como os denominadores são iguais, então os numeradores são iguais. Ou seja, esse coeficiente que está multiplicando o x tem que ser igual ao coeficiente que está multiplicando esse x, que é 1. Essa expressão tem que ser igual a 5. Agora, nós podemos montar um sistema de equações com duas incógnitas para determinar o A e o B. Deixa eu escrever isso aqui. Nós sabemos que A + 2B = 1. A + 3B = 5. Ou seja, temos um sistema. Você pode resolvê-lo da maneira que quiser. Eu vou fazer pelo método da soma. Com isso, eu posso multiplicar toda essa primeira equação por -1. Eu vou ter -A - 2B - 1. Se eu somar as duas equações, aqui o -A e o A irão se cancelar, -2B + 3B = B, e -1 + 5 = 4. Portanto, B = 4. Podemos substituí-lo em uma dessas equações para encontrar o A. Eu vou substituir nesta aqui, então. Ou seja, A + 3B = 5. Vou ficar com A + 3 vezes 4 = 5. Ficando com A + 12 = 5. Portanto, A = -7. Com isso, nós podemos reescrever essa integral colocando ∫ A / (2x - 3). Como sabemos, A = -7. Então, vamos ficar com -7 / (2x - 3) mais B / (x - 1). B = 4, portanto, vamos ficar com 4 / (x - 1) dx. Claro, se você quiser, pode pausar o vídeo e tentar resolver essa integral. Nós já vimos algumas técnicas em aulas passadas. Eu vou resolver passo a passo aqui. Isso vai ser igual à integral... Colocando esse 2x - 3 aqui no denominador, eu posso colocar esse -7 para frente da integral ficando com -7 aqui e 1 aqui. Sabe o que seria o interessante? Se nós tivéssemos um 2 aqui. Por quê? Porque 2 é a derivada de 2x - 3. Se no numerador nós temos uma função e no denominador a sua derivada, então nós podemos fazer substituição de u. Claro, se você não se lembra dessa substituição, eu sugiro que você dê uma olhada nas aulas anteriores. Como podemos transformar esse 1 em 2? Simples, nós podemos multiplicar esse numerador por 2. Mas, quando fazemos isso, essa constante deve ser dividida por 2. Isso porque 2 dividido por 2 vai dar 1, e a integral não vai ser alterada. Claro, dx mais... A derivada de x - 1 é 1. Então, queremos que apareça 1 aqui no numerador. Mas aqui fica mais fácil porque é só colocar o 4 para a frente da integral, ficando com 4 vezes ∫ 1 / x - 1 dx. Resolvendo isso, nós vamos ter -7/2 vezes esta integral aqui. Se você resolver utilizando substituição, você vai ter ln do modulo de 2x - 3. Então, vezes ln | 2x - 3 | mais 4 vezes ln | x - 1|. Claro, essas integrais, eu já vi em aulas passadas. Se você não se lembra, sugiro que revise. Por ser uma integral indefinida, devemos somar com uma constante C. Então, isto aqui é o resultado desta integral. Eu espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!