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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 10: Regra da potência reversa- Regra da potência reversa
- Regra da potência reversa
- Regra da potência reversa: potências fracionárias e negativas
- Integrais indefinidas: somas e multiplicações
- Regra da potência reversa: somas e multiplicações
- Reescrever antes de integrar
- Regra da potência reversa: reescrever antes de integrar
- Reescrita antes da integração: desafio
- Revisão da regra da potência reversa
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Integrais indefinidas: somas e multiplicações
Uma integral indefinida de uma soma é igual à soma das integrais das suas partes componentes. Constantes podem ser "tiradas" das integrais.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Olá, meu amigo e minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos estudar
duas propriedades das integrais indefinidas. Repare que eu já coloquei aqui
estas duas integrais na tela. Esta primeira está dizendo
que a integral indefinida da soma de duas funções é igual à soma
das integrais indefinidas de cada uma dessas funções. Já esta outra diz que
a integral indefinida de uma constante, ou seja, algo que não é
uma função de x vezes f(x), é igual a essa constante
vezes a integral indefinida de f(x). Uma forma de pensar nessa propriedade é que podemos tirar essa constante dessa integral. No futuro, a gente vai ver que essas
duas técnicas são muito úteis. Agora, se você está satisfeito
com que está escrito aqui, é só seguir em frente. Mas, se você gosta de demonstrações, é só continuar assistindo a este vídeo, já que eu vou apresentar argumentos
que vão validar essas propriedades. Para isso, vamos utilizar
as propriedades das derivadas. Sabendo disso, vamos começar
aqui pela primeira. Vamos derivar em ambos
os lados dessa igualdade para ver se, ao fazer isso,
se essa igualdade se mantém. Bem, vamos fazer aqui, vamos derivar em relação a x
em ambos os lados aqui. Derivando em relação a x
aqui do lado esquerdo, temos que isto aqui vai se tornar seja lá o que tenha dentro
da integral indefinida. Afinal, a derivada
da integral de uma coisa é igual a essa coisa. Assim, isto aqui vai se tornar apenas f(x) + g(x). Agora, o que isto aqui do lado direito
vai se tornar? Bem, podemos apenas aplicar uma das propriedades da derivada. A derivada da soma de duas coisas é a mesma coisa que a soma
das derivadas dessas coisas. Bem, isso vai ser
um pouquinho mais demorado. Mas isto aqui vai ser igual a
d/dx dessa primeira parte, mais d/dx dessa segunda parte. Bem, esta primeira parte aqui
é ∫ f(x) d/dx. Esta segunda parte
é ∫ g(x) d/dx. Agora, o que são essas coisas? Estas coisas aqui... Vou escrever
o sinal de igual aqui, ok? Então, isto vai ser igual à derivada
disto em relação a x, que vai ser apenas f(x), mais a derivada
em relação a x disto aqui, que vai ser apenas g(x). Logo, isso é obviamente verdadeiro,
a igualdade se manteve. Agora vamos resolver isto aqui. Vamos fazer a mesma coisa. Vamos calcular a derivada
de ambos os lados. Ou seja, a derivada em relação a x
disto aqui e a derivada em relação a x
disto aqui. A gente já percebe
logo de cara que o lado esquerdo
vai ser tornar c vezes f(x). Agora, o lado direito vai se tornar... Bem, nós sabemos das
propriedades da derivada, em que a derivada de uma constante
vezes alguma coisa é a mesma coisa que a constante
vezes a derivada dessa coisa. Sendo assim, temos que isto aqui
vai ser a constante vezes a derivada da integral indefinida
de f(x) d/dx. Tudo isso vai ser igual a c vezes f(X). Então, mais uma vez,
você pode ver que a igualdade claramente
está se mantendo. Bem, espero que isso faça
você se sentir bem em relação a essas propriedades. Mas, claro,
além disso, o mais importante é que
você saiba quando utilizá-las. Então, como exemplo aqui, vamos supor que eu queira
calcular a integral indefinida de: x² + cos x. Bem, vamos utilizar uma das
propriedades que vimos aqui. Como visto,
isso é a mesma coisa que ∫ x² dx + ∫ cos x dx. Dessa forma, sem dúvida, fica bem
mais fácil de calcular a integral. Agora, vamos supor também
que a gente queira calcular a integral indefinida de π vezes sen x dx. Bem, podemos tirar a constante
aqui dessa integral, afinal, π não é dependente de x. Assim, essa integral é igual a
π vezes ∫ sen x dx. Enfim, essas duas propriedades
são muito úteis! Eu espero que elas lhe ajudem
muito ainda no futuro. Espero que você tenha compreendido
tudo direitinho que vimos aqui e, claro, como sempre, quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!