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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 4: Somas de Riemann em notação de somatório- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de ponto médio e trapezoidais em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório: problema desafio
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Somas de Riemann em notação de somatório
A notação de somatório pode ser usada para escrever somas de Riemann em uma forma compacta. Isso é um desafio, mas é um importante passo para uma definição formal da integral definida.
A notação de somatório (ou notação sigma) nos permite escrever uma soma longa com uma expressão simples. Como a notação de somatória tem múltiplos usos na matemática (e especificamente no cálculo), queremos nos concentrar em como podemos usá-la para escrever somas de Riemann.
Exemplo de escrita de uma soma de Riemann em notação de somatório
Imagine que estamos aproximando a área sob o gráfico de entre e .
E digamos que decidimos fazer isso escrevendo a expressão para uma soma de Riemann à direita, com quatro subdivisões iguais, usando a notação de somatório.
Seja a área do retângulo na nossa aproximação.
Toda a soma de Riemann pode ser escrita assim:
O que precisamos fazer agora é calcular a expressão para .
A largura de todo o intervalo é de unidades, e nós queremos subdivisões iguais, então a de cada retângulo é de unidades.
A de cada retângulo é o valor de na extremidade direita do retângulo (isso porque essa é uma soma de Riemann à direita).
Seja a extremidade direita do retângulo. Para calcular para qualquer valor de , começamos em (a extremidade esquerda do intervalo) e vamos somando a largura comum repetidamente.
Portanto, a fórmula de é . Agora, a de cada retângulo é o valor de em sua extremidade direita:
E assim, nós chegamos a uma expressão geral para a área do retângulo:
Agora, tudo que falta é somar essa expressão para valores de de a :
E é isso!
Resumo do processo de escrever uma soma de Riemann em notação de somatório
Imagine que queremos aproximar a área sob o gráfico de no intervalo com subdivisões iguais.
Defina : seja a de cada retângulo, então .
Defina : seja a extremidade direita de cada retângulo, então .
Defina a área do retângulo: a de cada retângulo será então , e a área de cada retângulo será .
Some os retângulos: agora nós usamos a notação de somatório para somar todas as áreas. Os valores que usamos para é diferente para somas de Riemann à esquerda ou à direita:
- Quando estamos escrevendo uma soma de Riemann à direita, tomaremos valores de
de a . - No entanto, quando estamos escrevendo uma soma de Riemann à esquerda, tomaremos valores de
de a (isso inos dará o valor de na extremidade esquerda de cada retângulo).
Soma de Riemann à esquerda | Soma de Riemann à direita |
---|---|
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