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Cálculo integral

Curso: Cálculo integral > Unidade 1

Lição 4: Somas de Riemann em notação de somatório
Matemática
Cálculo integral
Integrais
Somas de Riemann em notação de somatório
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Somas de Riemann em notação de somatório

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A notação de somatório pode ser usada para escrever somas de Riemann em uma forma compacta. Isso é um desafio, mas é um importante passo para uma definição formal da integral definida.
A notação de somatório (ou notação sigma) nos permite escrever uma soma longa com uma expressão simples. Como a notação de somatória tem múltiplos usos na matemática (e especificamente no cálculo), queremos nos concentrar em como podemos usá-la para escrever somas de Riemann.

Exemplo de escrita de uma soma de Riemann em notação de somatório

Imagine que estamos aproximando a área sob o gráfico de f(x)=x entre x=0,5 e x=3,5.
A função y = raiz quadrada de x está representada graficamente. O eixo x vai de 0 até 4. O gráfico é uma curva. A curva começa em (0, 0), se move para cima com concavidade para baixo e termina em (4, 2). A região entre a curva e o eixo x, entre x = 0,5 e x = 3,5, está sombreada.
E digamos que decidimos fazer isso escrevendo a expressão para uma soma de Riemann à direita, com quatro subdivisões iguais, usando a notação de somatório.
O gráfico da função y tem a região sombreada dividida em 4 retângulos de largura 0,75. Cada retângulo toca a curva no canto superior direito.
Seja A(i) a área do iésimo retângulo na nossa aproximação.
As áreas dos retângulos são A de 1, A de 2, A de 3 e A de 4.
Toda a soma de Riemann pode ser escrita assim:
A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)
O que precisamos fazer agora é calcular a expressão para A(i).
A largura de todo o intervalo [0,5;3,5] é de 3 unidades, e nós queremos 4 subdivisões iguais, então a largura de cada retângulo é de 3÷4=0,75 unidades.
A altura de cada retângulo é o valor de f na extremidade direita do retângulo (isso porque essa é uma soma de Riemann à direita).
Seja xi a extremidade direita do iésimo retângulo. Para calcular xi para qualquer valor de i, começamos em x=0,5 (a extremidade esquerda do intervalo) e vamos somando a largura comum 0,75 repetidamente.
O lado esquerdo do primeiro retângulo está em x = 0,5. Some 0,75 4 vezes para conseguir os lados dos retângulos, em x 1 até x 4.
Portanto, a fórmula de xi é 0,5+0,75i. Agora, a altura de cada retângulo é o valor de f em sua extremidade direita:
f(xi)=xi=0,5+0,75i
E assim, nós chegamos a uma expressão geral para a área do iésimo retângulo:
A(i)=largura⋅altura=0,75⋅0,5+0,75i
Agora, tudo que falta é somar essa expressão para valores de i de 1 a 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75⋅0,5+0,75i
E é isso!

Resumo do processo de escrever uma soma de Riemann em notação de somatório

Imagine que queremos aproximar a área sob o gráfico de f no intervalo [a,b] com n subdivisões iguais.
Defina Δx: seja Δx a largura de cada retângulo, então Δx=b−an.
Defina xi: seja xi a extremidade direita de cada retângulo, então xi=a+Δx⋅i.
Defina a área do iésimo retângulo: a altura de cada retângulo será então f(xi), e a área de cada retângulo será Δx⋅f(xi).
Some os retângulos: agora nós usamos a notação de somatório para somar todas as áreas. Os valores que usamos para i é diferente para somas de Riemann à esquerda ou à direita:
  • Quando estamos escrevendo uma soma de Riemann à direita, tomaremos valores de i de 1 a n.
  • No entanto, quando estamos escrevendo uma soma de Riemann à esquerda, tomaremos valores de i de 0 a n−1 (isso inos dará o valor de f na extremidade esquerda de cada retângulo).
Soma de Riemann à esquerdaSoma de Riemann à direita
∑i=0n−1Δx⋅f(xi)∑i=1nΔx⋅f(xi)
Problema 1.A
O conjunto de problemas 1 o levará por todo o processo de aproximar a área entre f(x)=0,1x2+1 e o eixo x no intervalo [2,7] usando uma soma de Riemann à esquerda com 10 subdivisões iguais.
A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 1 negativo até 9. O gráfico é uma curva. A curva começa no quadrante 2, move-se para baixo até um mínimo relativo em (0, 1), move-se para cima e termina no quadrante 1. A região entre a curva e o eixo x, entre x = 2 e x = 7, está sombreada.
Qual é o comprimento de cada retângulo, Δx?
Δx=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Nós queremos aproximar a área entre g(x)=5x+2 e o eixo x no intervalo [1,7] usando uma soma de Riemann à direita com 9 subdivisões iguais:
A função g está representada graficamente. O eixo x vai de 1 negativo até 7. O gráfico é uma curva. A curva começa no quadrante 1, move-se para baixo com concavidade para cima e termina no quadrante 1. A região entre a curva e o eixo x, entre x = 1 e x = 7, está sombreada. A região sombreada é dividida em 9 retângulos de largura igual. Cada retângulo toca a curva no canto superior direito.
Qual expressão representa nossa aproximação?
Escolha 1 resposta:

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