Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos fazer um exercício de soma de Riemann, ou seja, vamos calcular a área sob uma curva e nos familiarizar com a notação de integral. Vamos ver isso com a soma das áreas desses retângulos. Esta curva é o gráfico da função f(x) igual a 1 mais 0,1 x², e como eu disse, a soma da área desses retângulos forma a área aproximada entre essa curva e a parte de cima do eixo x. E claro, nós estamos analisando somente de x igual a zero até x igual a 8. Então, a aproximação dessa área vai ser a área desse retângulo 1, mais esse retângulo 2, mais esse retângulo 3 e esse retângulo 4. A base de cada um desses retângulos tem uma, duas unidades, portanto, dividimos oito em quatro sessões de duas unidades, ou seja, essa base mede 2, essa também mede 2, essa aqui e essa aqui também. Para descobrir a altura, nós podemos olhar no ponto médio entre o lado esquerdo e o lado direito do retângulo. Então a altura desse retângulo pode ser calculada, mais ou menos, como f(1), já que é uma aproximação. A altura desse retângulo é aproximadamente f(2), desse aqui é f(5) e desse aqui é, aproximadamente, f(6). Claro, eu poderia, por exemplo, pegar f(0), que daria a mesma coisa que f(1) ou f(2), mas todos esses pontos médios estão abaixo da curva, por isso foi melhor pensar assim. Então, para descobrir a área aproximada sob essa curva nesse intervalo, você deve descobrir a soma das áreas desses retângulos. Mas como podemos representar isso na notação sigma? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. O somatório da área desses retângulos de n, começando em 1 até 4... Mas, de quê? Veja bem: no primeiro retângulo nós temos que a base é 2 e a altura é f(1). Então, a área do primeiro retângulo seria 2 vezes f(1). Já no segundo retângulo a base também é 2, mas dessa vez nós temos de calcular f(3) para descobrir a altura. Isso vai mudando de acordo com o retângulo. Então, o que sabemos é que sempre pegamos 2 e multiplicamos por f de alguma coisa. Para saber qual é esse f, vamos colocar n, que vai ser o número do retângulo, e f(n). Quando n vale 1, nós descobrimos a altura com f(1). Então, f(1). No segundo retângulo, utilizamos f(3). Então, f(3). No terceiro retângulo, utilizamos f(5), e, no quarto retângulo, a altura é f(7). Será que, olhando isso aqui, conseguimos generalizar a altura? Observe: parece que estamos multiplicando isso por 2 e subtraindo 1. Veja: 2 vezes 2 dá 4, menos 1 dá 3, enquanto 2 vezes 3 dá 6, menos 1 dá 5. e 2 vezes 4 dá 8, menos 1 dá 7. Ao generalizar essa altura, nós pegamos 2, multiplicamos por n e subtraímos 1. Então, em cada um desses retângulos, nós pegamos a base, que é 2, e multiplicamos pela altura, que é f(2n menos 1). Essa aqui é a notação de sigma. Ok, então vamos calcular essa área aproximada utilizando isso aqui? Quando n vale 1, nós vamos ter 2 vezes f(2 vezes 1 menos 1), que vai dar f(1), então 2 vezes f(1), mais n igual a 2, que vai ser 2 vezes f(2) vezes 2, que dá 4, menos 1 dá 3, então mais 2 vezes f(3), mais n igual a 3, que vai ser 2 vezes f de 2 vezes 3, que dá 6, menos 1, que vai dar 5. Então mais 2 vezes f(5) mais n igual a 4, que vai dar 2, vezes f de 2 vezes 4, que dá 8, menos 1 dá 7. Então, mais 2 vezes f(7). (Deixe-me apagar isso para termos espaço para calcular essa área). Se você perceber, todo mundo aqui é múltiplo de 2, então eu posso colocar 2 em evidência, que multiplica f(1), que posso calcular por aqui ao substituir 1. Nós vamos ficar com 1 mais 0,1 vezes 1², que vai dar 1,1, mais f(3), que vai dar 1 mais 0,1 vezes 3², que vai dar 1,9, mais f(5), que vai dar 1 mais 0,1 vezes 5², que é igual a 3,5, mais f(7), que vai dar 1 mais 0,1 vezes 7², que é igual a 5,9. E se eu somar isso, vai ser a mesma coisa que 12,4. Então, 2 vezes 12,4, e multiplicando isso, vamos ficar com 24,8 unidades de área, ou seja, essa aqui é a área aproximada dessa curva utilizando esses quatro retângulos de x igual a zero até x igual a 8. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!