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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 4: Somas de Riemann em notação de somatório- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de ponto médio e trapezoidais em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório: problema desafio
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Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.
Aqui, nós expressamos a aproximação da área sob uma curva em notação sigma. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Por que se usa metade do retângulo para a altura? A altura não deveria estar no eixo Y??(2 votos)
- Essa sua pergunta tem uma afirmação falsa. As alturas são as mesmas. O que você deve ter confundido foi que, por conveniência, foi tomada as alturas pelo ponto médio.Já que esses pontos pertencem à curva. Se trata da Soma de Riemann por ponto médio e não as outras que se tomam à direita ou à esquerda(4 votos)
- De fato algo parece estar errado ai...(0 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula nós vamos fazer
um exercício de soma de Riemann, ou seja, vamos calcular a área sob uma curva
e nos familiarizar com a notação de integral. Vamos ver isso com a soma
das áreas desses retângulos. Esta curva é o gráfico da função
f(x) igual a 1 mais 0,1 x², e como eu disse, a soma
da área desses retângulos forma a área aproximada entre
essa curva e a parte de cima do eixo x. E claro, nós estamos analisando somente
de x igual a zero até x igual a 8. Então, a aproximação dessa área vai ser a área
desse retângulo 1, mais esse retângulo 2, mais esse retângulo 3
e esse retângulo 4. A base de cada um desses retângulos
tem uma, duas unidades, portanto, dividimos oito em
quatro sessões de duas unidades, ou seja, essa base mede 2,
essa também mede 2, essa aqui e essa aqui também. Para descobrir a altura, nós
podemos olhar no ponto médio entre o lado esquerdo
e o lado direito do retângulo. Então a altura desse retângulo pode ser calculada,
mais ou menos, como f(1), já que é uma aproximação. A altura desse retângulo é aproximadamente
f(2), desse aqui é f(5) e desse aqui é,
aproximadamente, f(6). Claro, eu poderia,
por exemplo, pegar f(0), que daria a mesma coisa
que f(1) ou f(2), mas todos esses pontos médios estão abaixo
da curva, por isso foi melhor pensar assim. Então, para descobrir a área aproximada
sob essa curva nesse intervalo, você deve descobrir a soma
das áreas desses retângulos. Mas como podemos representar
isso na notação sigma? Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente fazer isso sozinho. O somatório da área desses retângulos de n,
começando em 1 até 4... Mas, de quê? Veja bem: no primeiro retângulo nós
temos que a base é 2 e a altura é f(1). Então, a área do primeiro
retângulo seria 2 vezes f(1). Já no segundo retângulo
a base também é 2, mas dessa vez nós temos de calcular
f(3) para descobrir a altura. Isso vai mudando de
acordo com o retângulo. Então, o que sabemos é que sempre pegamos 2
e multiplicamos por f de alguma coisa. Para saber qual é esse f, vamos colocar n,
que vai ser o número do retângulo, e f(n). Quando n vale 1, nós descobrimos
a altura com f(1). Então, f(1). No segundo retângulo,
utilizamos f(3). Então, f(3). No terceiro retângulo, utilizamos f(5),
e, no quarto retângulo, a altura é f(7). Será que, olhando isso aqui,
conseguimos generalizar a altura? Observe: parece que estamos
multiplicando isso por 2 e subtraindo 1. Veja: 2 vezes 2 dá 4,
menos 1 dá 3, enquanto 2 vezes 3 dá 6,
menos 1 dá 5. e 2 vezes 4 dá 8,
menos 1 dá 7. Ao generalizar essa altura, nós pegamos 2,
multiplicamos por n e subtraímos 1. Então, em cada um desses retângulos,
nós pegamos a base, que é 2, e multiplicamos pela altura,
que é f(2n menos 1). Essa aqui é a notação de sigma. Ok, então vamos calcular essa área
aproximada utilizando isso aqui? Quando n vale 1, nós vamos ter 2 vezes
f(2 vezes 1 menos 1), que vai dar f(1), então 2 vezes f(1), mais n igual a 2, que vai ser 2 vezes
f(2) vezes 2, que dá 4, menos 1 dá 3, então mais 2 vezes f(3), mais n igual a 3, que vai ser 2 vezes f de
2 vezes 3, que dá 6, menos 1, que vai dar 5. Então mais 2 vezes f(5)
mais n igual a 4, que vai dar 2, vezes f de 2 vezes 4,
que dá 8, menos 1 dá 7. Então, mais 2 vezes f(7). (Deixe-me apagar isso para termos
espaço para calcular essa área). Se você perceber, todo
mundo aqui é múltiplo de 2, então eu posso colocar 2
em evidência, que multiplica f(1), que posso calcular
por aqui ao substituir 1. Nós vamos ficar com 1 mais 0,1
vezes 1², que vai dar 1,1, mais f(3), que vai dar 1 mais 0,1
vezes 3², que vai dar 1,9, mais f(5), que vai dar 1 mais 0,1
vezes 5², que é igual a 3,5, mais f(7), que vai dar 1 mais 0,1
vezes 7², que é igual a 5,9. E se eu somar isso, vai ser
a mesma coisa que 12,4. Então, 2 vezes 12,4, e multiplicando isso, vamos ficar
com 24,8 unidades de área, ou seja, essa aqui é a área
aproximada dessa curva utilizando esses quatro retângulos
de x igual a zero até x igual a 8. Eu espero que essa aula tenha ajudado
e até a próxima, pessoal!