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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 4: Somas de Riemann em notação de somatório- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de ponto médio e trapezoidais em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório: problema desafio
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Somas de Riemann em notação de somatório: problema desafio
Quando uma função é negativa, as somas de Riemann parecem tratá-la como tendo "área negativa".
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- Uma hora a gnt ñ considera correto pq area n pode ser negativa e depois na soma é uma subtração pq a area é negativa... ñ entendi... meio contraditorio isso...(2 votos)
- O que estiver acima do eixo x, por ter y positivo tem área positiva. Já o que estiver abaixo do eixo x, por ter y negativo, tem área negativa... só isso.(1 voto)
- a 2 só está errada em decorrência da notação utilizada. A área pode sim ser negativa, no sentido de sua orientação. Como suas ordenadas se encontram nos quadrantes negativos, isto faz com que seu resultado seja uma área negativa, no entanto, por convenção em diversos livros, nós plotamos para os eixos positivos a mesma área de gráfico, adiciona a função da área ao módulo. Então a 2 também está correta, porém em módulo e não na notação utilizada.(1 voto)
- as 3 alternativas estão certas.
delta x = 1/2
xi = a + Delta x . i
f(xi) . Delta x = (a + 1/2). 1/2
a = -5 para retângulos azuis e para todo o gráfico (azuis e rosas)
a = -1 para retângulos rosas(0 votos)
Transcrição de vídeo
RKA14C O gráfico de f é apresentado abaixo. É mostrado um total
de 24 retângulos à direita. O que eu quero dizer
com retângulos à direita? Claramente, há 24 retângulos
aqui embaixo. Mas, quando eu digo
retângulos à direita, o que estou querendo dizer
é o seguinte: que a altura do retângulo é
determinada pelo seu lado direito. Veja só, o lado direito do retângulo
está encontrando com a função, e isso está determinando a sua altura. Se, no caso, em vez de ser
retângulo à direita, fosse retângulo à esquerda, olha só a diferença! Este aqui é o lado esquerdo
deste triângulo, então, a altura dele
seria esta aqui, porque o lado encontra
a função bem aqui. Então, esta aqui é a diferença entre retângulo à direita
e retângulo à esquerda. Aqui está dizendo que
são 8 retângulos em azul e 16 em vermelho. Temos 8 aqui à esquerda em azul e 16 aqui à direita em vermelho. E todos os 24 retângulos
têm a mesma largura. Sabendo disso, qual das afirmações
a seguir é verdadeira? São dadas aqui três expressões
em notação sigma. Vamos ver o que elas afirmam. A primeira está afirmando
que esta expressão aqui é a soma das áreas
dos retângulos azuis. A segunda expressão está falando que é a soma das áreas
dos retângulos vermelhos. E a terceira expressão é a soma
das áreas de todos os retângulos. Então, agora eu sugiro
que você pause o vídeo e tente determinar sozinho quais
dessas afirmações são verdadeiras. Então, assumindo que
você pausou vídeo, vamos lá! Vamos analisar cada uma
dessas afirmações para ver se elas fazem sentido. Então, a primeira está falando
que ela representa a soma das áreas dos retângulos azuis. Então, nós sabemos que
temos 8 retângulos aqui. Vamos lá! Temos 8 retângulos aqui. Esta parte da expressão está falando
que está somando 8 coisas. Parece estar correto aqui, o começo. Aqui temos f de alguma coisa
vezes 1/2. Isso lembra muito a fórmula
da área de um retângulo, que seria base vezes altura. Então, isto aqui poderia ser a base, e isto a altura, ou vice versa. Vamos ver qual faz sentido aqui. Bom, olhando aqui,
esta segunda parte parece fazer sentido
ser a nossa largura. Veja só o porquê. Aqui, o x vai de -5 até 7. Isso cobriria todos os retângulos. Então, vamos lá. De -5 até 7, a gente tem 12. Aqui está falando
que são 24 retângulos. Então, 12/24, cada pequeno pedaço aqui,
cada pequeno retângulo, vai ter uma largura de 1/2. O que bate com isto aqui. Isso poderia ser a nossa largura. Então, esta parte aqui,
considero que está correta já. Vamos confirmar isto agora. Vamos pensar sobre f(-5 + i/2). O i é um número
que vai variar de 1 a 8. Então, vamos começar
com ele sendo igual a 1. Então, seria i = 1. Ficaria -5 + 1/2. -5 + 1/2...
O -5 está aqui. Mais 1/2, ficaria para cá. Então, o f(1/2) está bem aqui, que seria a determinação da altura. Isso bate com o primeiro retângulo. E vezes 1/2, isso daria exatamente a área desse primeiro retângulo. Vamos tentar com i = 2, então. Ficaria aqui:
-5 + 2/2 = 1. Então, -5 + 1 ficaria aqui. Estaria aqui. Então, f(-1) também bate exatamente com este segundo retângulo. Note que cada vez
que calculamos a função... Este primeiro é -5 + i/2, mas note que aqui vamos
aumentando de 1/2 em 1/2, então, a cada incremento,
estamos somando 1/2. Isso realmente faz todo sentido. Estamos fazendo isso
para os 8 primeiros, então, isto aqui é verdade. É verdade que esta afirmação
representa a soma dos retângulos azuis. Agora vamos ver
a soma das áreas dos retângulos vermelhos. A princípio, parece muito interessante, estamos somando 16 coisas, o que bate com os 16 retângulos
que nós temos aqui. De fato, são 16 coisas a serem somadas. Nós temos a largura de cada uma
dessas 16 partes, que é 1/2, não vai mudar. Mas o que acontece
se tomarmos f de -1 + i/2? Bom, -1 + 1/2, então, seria 1 + 1/2... Desculpe, -1 + 1/2. O -1 está bem aqui. Se formos somar 1/2,
ele vai estar bem aqui. Esta aqui é a altura
desse retângulo, porque é um retângulo à direita. Se fosse o próximo, -1 + 2/2, então, -1 + 1, estaríamos aqui. No próximo, estaríamos aqui. Esta aqui seria a altura desse retângulo. Bom, temos que ser
bem cuidadosos aqui. Eles terão o mesmo valor absoluto, mas serão valores negativos. Então, eles serão todos negativos. Isso é porque, nesse intervalo
em que eles ocorrem, nossa função é negativa, e é a função que determina a altura. Um jeito de pensar seria
ter alturas negativas. Quando você multiplica
essas duas coisas, você terá um número negativo. Então, toda esta parte
será um número negativo. Você terá então o negativo da soma das áreas
dos retângulos vermelhos. Só que isso não é
a mesma coisa que a soma das áreas dos retângulos vermelhos. Uma área, pelo bom senso, normalmente, é um valor positivo. E isto aqui não vai dar
um valor positivo. É um valor negativo da área. Então, isto aqui não é a mesma coisa. Por isso que esta afirmação é falsa. Vamos agora para a última afirmação. Ela está falando que é a soma
das áreas de todos os retângulos. Bom, aqui já começou bem,
porque são... Isto aqui representa a soma de 24 partes. De fato, temos 24 retângulos. Ok, vamos continuar olhando a expressão. Se fosse dito "de i = 1 até i = 8", seria a mesma coisa
que a primeira afirmação. Mas então recaímos
na situação anterior em que, a partir de i = 9, esta parte aqui vai ser negativa. Vai dar uma área negativa. O resultado final será
esta área positiva contra esta área negativa aqui. Então, não é a soma das áreas
de todos os retângulos. É esta área menos esta área. Então, também é uma alternativa falsa.