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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 4: Somas de Riemann em notação de somatório- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de ponto médio e trapezoidais em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório: problema desafio
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Somas de Riemann em notação de somatório: problema desafio
Quando uma função é negativa, as somas de Riemann parecem tratá-la como tendo "área negativa".
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- Uma hora a gnt ñ considera correto pq area n pode ser negativa e depois na soma é uma subtração pq a area é negativa... ñ entendi... meio contraditorio isso...(3 votos)
- O que estiver acima do eixo x, por ter y positivo tem área positiva. Já o que estiver abaixo do eixo x, por ter y negativo, tem área negativa... só isso.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C O gráfico de f é apresentado abaixo. É mostrado um total
de 24 retângulos à direita. O que eu quero dizer
com retângulos à direita? Claramente, há 24 retângulos
aqui embaixo. Mas, quando eu digo
retângulos à direita, o que estou querendo dizer
é o seguinte: que a altura do retângulo é
determinada pelo seu lado direito. Veja só, o lado direito do retângulo
está encontrando com a função, e isso está determinando a sua altura. Se, no caso, em vez de ser
retângulo à direita, fosse retângulo à esquerda, olha só a diferença! Este aqui é o lado esquerdo
deste triângulo, então, a altura dele
seria esta aqui, porque o lado encontra
a função bem aqui. Então, esta aqui é a diferença entre retângulo à direita
e retângulo à esquerda. Aqui está dizendo que
são 8 retângulos em azul e 16 em vermelho. Temos 8 aqui à esquerda em azul e 16 aqui à direita em vermelho. E todos os 24 retângulos
têm a mesma largura. Sabendo disso, qual das afirmações
a seguir é verdadeira? São dadas aqui três expressões
em notação sigma. Vamos ver o que elas afirmam. A primeira está afirmando
que esta expressão aqui é a soma das áreas
dos retângulos azuis. A segunda expressão está falando que é a soma das áreas
dos retângulos vermelhos. E a terceira expressão é a soma
das áreas de todos os retângulos. Então, agora eu sugiro
que você pause o vídeo e tente determinar sozinho quais
dessas afirmações são verdadeiras. Então, assumindo que
você pausou vídeo, vamos lá! Vamos analisar cada uma
dessas afirmações para ver se elas fazem sentido. Então, a primeira está falando
que ela representa a soma das áreas dos retângulos azuis. Então, nós sabemos que
temos 8 retângulos aqui. Vamos lá! Temos 8 retângulos aqui. Esta parte da expressão está falando
que está somando 8 coisas. Parece estar correto aqui, o começo. Aqui temos f de alguma coisa
vezes 1/2. Isso lembra muito a fórmula
da área de um retângulo, que seria base vezes altura. Então, isto aqui poderia ser a base, e isto a altura, ou vice versa. Vamos ver qual faz sentido aqui. Bom, olhando aqui,
esta segunda parte parece fazer sentido
ser a nossa largura. Veja só o porquê. Aqui, o x vai de -5 até 7. Isso cobriria todos os retângulos. Então, vamos lá. De -5 até 7, a gente tem 12. Aqui está falando
que são 24 retângulos. Então, 12/24, cada pequeno pedaço aqui,
cada pequeno retângulo, vai ter uma largura de 1/2. O que bate com isto aqui. Isso poderia ser a nossa largura. Então, esta parte aqui,
considero que está correta já. Vamos confirmar isto agora. Vamos pensar sobre f(-5 + i/2). O i é um número
que vai variar de 1 a 8. Então, vamos começar
com ele sendo igual a 1. Então, seria i = 1. Ficaria -5 + 1/2. -5 + 1/2...
O -5 está aqui. Mais 1/2, ficaria para cá. Então, o f(1/2) está bem aqui, que seria a determinação da altura. Isso bate com o primeiro retângulo. E vezes 1/2, isso daria exatamente a área desse primeiro retângulo. Vamos tentar com i = 2, então. Ficaria aqui:
-5 + 2/2 = 1. Então, -5 + 1 ficaria aqui. Estaria aqui. Então, f(-1) também bate exatamente com este segundo retângulo. Note que cada vez
que calculamos a função... Este primeiro é -5 + i/2, mas note que aqui vamos
aumentando de 1/2 em 1/2, então, a cada incremento,
estamos somando 1/2. Isso realmente faz todo sentido. Estamos fazendo isso
para os 8 primeiros, então, isto aqui é verdade. É verdade que esta afirmação
representa a soma dos retângulos azuis. Agora vamos ver
a soma das áreas dos retângulos vermelhos. A princípio, parece muito interessante, estamos somando 16 coisas, o que bate com os 16 retângulos
que nós temos aqui. De fato, são 16 coisas a serem somadas. Nós temos a largura de cada uma
dessas 16 partes, que é 1/2, não vai mudar. Mas o que acontece
se tomarmos f de -1 + i/2? Bom, -1 + 1/2, então, seria 1 + 1/2... Desculpe, -1 + 1/2. O -1 está bem aqui. Se formos somar 1/2,
ele vai estar bem aqui. Esta aqui é a altura
desse retângulo, porque é um retângulo à direita. Se fosse o próximo, -1 + 2/2, então, -1 + 1, estaríamos aqui. No próximo, estaríamos aqui. Esta aqui seria a altura desse retângulo. Bom, temos que ser
bem cuidadosos aqui. Eles terão o mesmo valor absoluto, mas serão valores negativos. Então, eles serão todos negativos. Isso é porque, nesse intervalo
em que eles ocorrem, nossa função é negativa, e é a função que determina a altura. Um jeito de pensar seria
ter alturas negativas. Quando você multiplica
essas duas coisas, você terá um número negativo. Então, toda esta parte
será um número negativo. Você terá então o negativo da soma das áreas
dos retângulos vermelhos. Só que isso não é
a mesma coisa que a soma das áreas dos retângulos vermelhos. Uma área, pelo bom senso, normalmente, é um valor positivo. E isto aqui não vai dar
um valor positivo. É um valor negativo da área. Então, isto aqui não é a mesma coisa. Por isso que esta afirmação é falsa. Vamos agora para a última afirmação. Ela está falando que é a soma
das áreas de todos os retângulos. Bom, aqui já começou bem,
porque são... Isto aqui representa a soma de 24 partes. De fato, temos 24 retângulos. Ok, vamos continuar olhando a expressão. Se fosse dito "de i = 1 até i = 8", seria a mesma coisa
que a primeira afirmação. Mas então recaímos
na situação anterior em que, a partir de i = 9, esta parte aqui vai ser negativa. Vai dar uma área negativa. O resultado final será
esta área positiva contra esta área negativa aqui. Então, não é a soma das áreas
de todos os retângulos. É esta área menos esta área. Então, também é uma alternativa falsa.