Somas de Riemann em notação de somatório: problema desafio

RKA14C O gráfico de f é apresentado abaixo. É mostrado um total de 24 retângulos à direita. O que eu quero dizer com retângulos à direita? Claramente, há 24 retângulos aqui embaixo. Mas, quando eu digo retângulos à direita, o que estou querendo dizer é o seguinte: que a altura do retângulo é determinada pelo seu lado direito. Veja só, o lado direito do retângulo está encontrando com a função, e isso está determinando a sua altura. Se, no caso, em vez de ser retângulo à direita, fosse retângulo à esquerda, olha só a diferença! Este aqui é o lado esquerdo deste triângulo, então, a altura dele seria esta aqui, porque o lado encontra a função bem aqui. Então, esta aqui é a diferença entre retângulo à direita e retângulo à esquerda. Aqui está dizendo que são 8 retângulos em azul e 16 em vermelho. Temos 8 aqui à esquerda em azul e 16 aqui à direita em vermelho. E todos os 24 retângulos têm a mesma largura. Sabendo disso, qual das afirmações a seguir é verdadeira? São dadas aqui três expressões em notação sigma. Vamos ver o que elas afirmam. A primeira está afirmando que esta expressão aqui é a soma das áreas dos retângulos azuis. A segunda expressão está falando que é a soma das áreas dos retângulos vermelhos. E a terceira expressão é a soma das áreas de todos os retângulos. Então, agora eu sugiro que você pause o vídeo e tente determinar sozinho quais dessas afirmações são verdadeiras. Então, assumindo que você pausou vídeo, vamos lá! Vamos analisar cada uma dessas afirmações para ver se elas fazem sentido. Então, a primeira está falando que ela representa a soma das áreas dos retângulos azuis. Então, nós sabemos que temos 8 retângulos aqui. Vamos lá! Temos 8 retângulos aqui. Esta parte da expressão está falando que está somando 8 coisas. Parece estar correto aqui, o começo. Aqui temos f de alguma coisa vezes 1/2. Isso lembra muito a fórmula da área de um retângulo, que seria base vezes altura. Então, isto aqui poderia ser a base, e isto a altura, ou vice versa. Vamos ver qual faz sentido aqui. Bom, olhando aqui, esta segunda parte parece fazer sentido ser a nossa largura. Veja só o porquê. Aqui, o x vai de -5 até 7. Isso cobriria todos os retângulos. Então, vamos lá. De -5 até 7, a gente tem 12. Aqui está falando que são 24 retângulos. Então, 12/24, cada pequeno pedaço aqui, cada pequeno retângulo, vai ter uma largura de 1/2. O que bate com isto aqui. Isso poderia ser a nossa largura. Então, esta parte aqui, considero que está correta já. Vamos confirmar isto agora. Vamos pensar sobre f(-5 + i/2). O i é um número que vai variar de 1 a 8. Então, vamos começar com ele sendo igual a 1. Então, seria i = 1. Ficaria -5 + 1/2. -5 + 1/2... O -5 está aqui. Mais 1/2, ficaria para cá. Então, o f(1/2) está bem aqui, que seria a determinação da altura. Isso bate com o primeiro retângulo. E vezes 1/2, isso daria exatamente a área desse primeiro retângulo. Vamos tentar com i = 2, então. Ficaria aqui: -5 + 2/2 = 1. Então, -5 + 1 ficaria aqui. Estaria aqui. Então, f(-1) também bate exatamente com este segundo retângulo. Note que cada vez que calculamos a função... Este primeiro é -5 + i/2, mas note que aqui vamos aumentando de 1/2 em 1/2, então, a cada incremento, estamos somando 1/2. Isso realmente faz todo sentido. Estamos fazendo isso para os 8 primeiros, então, isto aqui é verdade. É verdade que esta afirmação representa a soma dos retângulos azuis. Agora vamos ver a soma das áreas dos retângulos vermelhos. A princípio, parece muito interessante, estamos somando 16 coisas, o que bate com os 16 retângulos que nós temos aqui. De fato, são 16 coisas a serem somadas. Nós temos a largura de cada uma dessas 16 partes, que é 1/2, não vai mudar. Mas o que acontece se tomarmos f de -1 + i/2? Bom, -1 + 1/2, então, seria 1 + 1/2... Desculpe, -1 + 1/2. O -1 está bem aqui. Se formos somar 1/2, ele vai estar bem aqui. Esta aqui é a altura desse retângulo, porque é um retângulo à direita. Se fosse o próximo, -1 + 2/2, então, -1 + 1, estaríamos aqui. No próximo, estaríamos aqui. Esta aqui seria a altura desse retângulo. Bom, temos que ser bem cuidadosos aqui. Eles terão o mesmo valor absoluto, mas serão valores negativos. Então, eles serão todos negativos. Isso é porque, nesse intervalo em que eles ocorrem, nossa função é negativa, e é a função que determina a altura. Um jeito de pensar seria ter alturas negativas. Quando você multiplica essas duas coisas, você terá um número negativo. Então, toda esta parte será um número negativo. Você terá então o negativo da soma das áreas dos retângulos vermelhos. Só que isso não é a mesma coisa que a soma das áreas dos retângulos vermelhos. Uma área, pelo bom senso, normalmente, é um valor positivo. E isto aqui não vai dar um valor positivo. É um valor negativo da área. Então, isto aqui não é a mesma coisa. Por isso que esta afirmação é falsa. Vamos agora para a última afirmação. Ela está falando que é a soma das áreas de todos os retângulos. Bom, aqui já começou bem, porque são... Isto aqui representa a soma de 24 partes. De fato, temos 24 retângulos. Ok, vamos continuar olhando a expressão. Se fosse dito "de i = 1 até i = 8", seria a mesma coisa que a primeira afirmação. Mas então recaímos na situação anterior em que, a partir de i = 9, esta parte aqui vai ser negativa. Vai dar uma área negativa. O resultado final será esta área positiva contra esta área negativa aqui. Então, não é a soma das áreas de todos os retângulos. É esta área menos esta área. Então, também é uma alternativa falsa.