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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 2: Aproximação com somas de Riemann- Introdução à aproximação de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo prático: sobre e subestimação de somas de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de ponto médio
- Somas trapezoidais
- Entendendo a regra do trapézio
- Somas de ponto médio e trapezoidais
- Revisão sobre as somas de Riemann
- Problema de movimento com aproximação por soma de Riemann
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Somas de Riemann à esquerda e à direita
Áres sob curvas podem ser estimadas com retângulos. Tais estimativas são chamadas de somas de Riemann.
Suponha que nós queremos calcular a área sob essa curva:
Podemos ter dificuldades para calcular a área exata, mas podemos fazer uma aproximação usando retângulos:
E nossa aproximação fica melhor se usamos mais retângulos:
Esses tipos de aproximações são chamados de somas de Riemann e são uma ferramenta fundamental para o cálculo integral. Nosso objetivo, por hora, é nos concentrar em compreender dois tipos de somas de Riemann: somas de Riemann à esquerda e somas de Riemann à direita.
Somas de Riemann à esquerda e à direita
Para fazer uma soma de Riemann, devemos escolher como vamos fazer nossos retângulos. Uma opção possível é fazê-los tocar a curva com os cantos superiores esquerdos. Isto é chamado de soma de Riemann à esquerda.
Outra opção é fazer com que nossos retângulos toquem a curva com seus cantos superiores direitos. Esta é uma soma de Riemann à direita.
Nenhuma opção é estritamente melhor que a outra.
Subdivisões/partições da soma de Riemann
Termos comumente mencionados quando trabalhamos com somas de Riemann são "subdivisões" ou "partições". Estes se referem ao número de partes em que dividimos o intervalo de , para obter os retângulos. Simplificando, o número de subdivisões (ou partições) é o número de retângulos que usamos.
Subdivisões podem ser uniformes, o que significa que elas têm a mesma largura, ou não uniformes.
Subdivisões uniformes | Subdivisões não uniformes |
---|---|
Problemas de soma de Riemann com gráficos
Imagine que tenhamos que aproximar a área entre e o eixo de a .
Digamos que decidimos usar uma soma de Riemann à esquerda com quatro subdivisões uniformes.
Aviso: cada retângulo toca a curva no seu canto superior esquerdo, porque estamos usando uma soma de Riemann à esquerda.
Somando as áreas dos retângulos, temos unidades , que é uma aproximação para a área sob a curva.
Agora vamos fazer algumas aproximações sem a ajuda de gráficos.
Imagine que temos que aproximar a área entre o eixo e o gráfico de de a usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais. Para isso, temos uma tabela de valores para .
Um bom primeiro passo é descobrir a largura de cada subdivisão. A largura de toda a área que estamos aproximando é de unidades. Se estamos usando três subdivisões iguais, então a largura de cada retângulo é .
A partir daí, precisamos descobrir a altura de cada retângulo. Nosso primeiro retângulo está no intervalo . Como estamos usando uma soma de Riemann à direita, seu vértice superior direito deve estar sobre a curva onde , então o valor de é .
De forma similar, podemos descobrir que o segundo retângulo, que fica no intervalo , tem seu vértice superior direito em .
Nosso terceiro (e último) retângulo tem seu vértice superior direito em .
Agora só resta fazer as contas.
Primeiro retângulo | Segundo retângulo | Terceiro retângulo | |
---|---|---|---|
Largura | |||
Altura | |||
Área |
Então, depois de calcular as áreas individuais, nós as somamos para obter nossa aproximação: unidades .
Agora imagine que temos que aproximar a área entre o eixo e o gráfico de de até usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais.
O intervalo total tem unidades de largura, então cada um dos três retângulos deve ter unidades de largura.
O primeiro retângulo está em , então sua altura é . Da mesma maneira, a altura do segundo retângulo é e a altura do terceiro retângulo é .
Primeiro retângulo | Segundo retângulo | Terceiro retângulo | |
---|---|---|---|
Largura | |||
Altura | |||
Área |
Então, nossa aproximação é de unidades .
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Somas de Riemann algumas vezes superestimam e em outras vezes subestimam
Somas de Riemann são aproximações da área sob uma curva, então serão sempre ligeiramente maiores do que a área real (uma superestimação), ou ligeiramente menores do que a área real (uma subestimação).
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Aviso: se a soma de Riemann é uma superestimação ou uma subestimação depende de se a função for crescente ou decrescente no intervalo e se a soma de Riemann é à direita ou à esquerda.
Pontos principais que devem ser lembrados
Como aproximar a área sob uma curva com retângulos
A primeira coisa que você deve ter em mente quando ouvir as palavras "soma de Riemann" é que nós estamos usando retângulos para estimar a área sob a curva. Devemos visualizar uma situação como esta:
Quanto mais subdivisões, melhor a aproximação
Em geral, quanto mais subdivisões (ou seja, retângulos) usarmos para aproximar uma área, melhor será a aproximação.
Somas de Riemann à esquerda x à direita
Tente não confundi-las. Uma soma de Riemann à esquerda usa retângulos cujos vértices superiores esquerdos se situam na curva. Uma soma de Riemann à direita usa retângulos cujos vértices superiores direitos se situam na curva.
Soma de Riemann à esquerda | Soma de Riemann à direita |
---|---|
Superestimação e subestimação
Quando usamos somas de Riemann, algumas vezes obtemos uma superestimação e outras vezes uma subestimação. É importante ser capaz de discernir quando uma determinada soma de Riemann é uma superestimação e quando ela é uma subestimação.
Em geral, se uma função for sempre crescente ou sempre decrescente em um intervalo, nós podemos dizer se a aproximação da soma de Riemann será uma superestimação ou uma subestimação com base em se ela é uma soma de Riemann à esquerda ou à direita.
Direção | Soma de Riemann à esquerda | Soma de Riemann à direita |
---|---|---|
Crescente | Subestimação | Superestimação |
Decrescente | Superestimação | Subestimação |
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