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Cálculo integral

Curso: Cálculo integral > Unidade 1

Lição 2: Aproximação com somas de Riemann
Matemática
Cálculo integral
Integrais
Aproximação com somas de Riemann
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Somas de Riemann à esquerda e à direita

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Áres sob curvas podem ser estimadas com retângulos. Tais estimativas são chamadas de somas de Riemann.
Suponha que nós queremos calcular a área sob essa curva:
Uma função está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico é uma curva. A curva começa no eixo y positivo, se move para cima com concavidade para cima e termina no quadrante 1. Uma área entre a curva e os eixos está sombreada.
Podemos ter dificuldades para calcular a área exata, mas podemos fazer uma aproximação usando retângulos:
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 4 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo.
E nossa aproximação fica melhor se usamos mais retângulos:
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 8 retângulos de largura igual.
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 16 retângulos de largura igual.
Esses tipos de aproximações são chamados de somas de Riemann e são uma ferramenta fundamental para o cálculo integral. Nosso objetivo, por hora, é nos concentrar em compreender dois tipos de somas de Riemann: somas de Riemann à esquerda e somas de Riemann à direita.

Somas de Riemann à esquerda e à direita

Para fazer uma soma de Riemann, devemos escolher como vamos fazer nossos retângulos. Uma opção possível é fazê-los tocar a curva com os cantos superiores esquerdos. Isto é chamado de soma de Riemann à esquerda.
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 4 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo. Portanto, todos os retângulos estão abaixo da curva.
Outra opção é fazer com que nossos retângulos toquem a curva com seus cantos superiores direitos. Esta é uma soma de Riemann à direita.
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 4 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior direito. Portanto, todos os triângulos se erguem acima da curva.
Nenhuma opção é estritamente melhor que a outra.
Problema 1
Que tipo de soma de Riemann é descrita pelo diagrama?
Escolha 1 resposta:

Subdivisões/partições da soma de Riemann

Termos comumente mencionados quando trabalhamos com somas de Riemann são "subdivisões" ou "partições". Estes se referem ao número de partes em que dividimos o intervalo de x, para obter os retângulos. Simplificando, o número de subdivisões (ou partições) é o número de retângulos que usamos.
Subdivisões podem ser uniformes, o que significa que elas têm a mesma largura, ou não uniformes.
Subdivisões uniformesSubdivisões não uniformes
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 3 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo.
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 3 retângulos de larguras diferentes. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo.
Problema 2
Qual é a descrição correta das subdivisões nessa soma de Riemann?
Escolha 1 resposta:

Problemas de soma de Riemann com gráficos

Imagine que tenhamos que aproximar a área entre y=g(x) e o eixo x de x=2 a x=6.
A função g está representada graficamente. O eixo x vai de 0 a 9. O gráfico é uma curva suave. A curva começa no quadrante 4, move-se para cima até um máximo relativo em aproximadamente (3, 7), move-se para baixo até um mínimo relativo em aproximadamente (4,4; 3,5), move-se para cima e termina no quadrante 1. Uma região entre a curva e o eixo x está sombreada entre x = 2 e x = 6.
Digamos que decidimos usar uma soma de Riemann à esquerda com quatro subdivisões uniformes.
O gráfico da função g tem a região sombreada dividida em 4 retângulos, cada um com largura igual a1. Cada retângulo toca a curva no canto superior esquerdo. Os cantos estão em (2, 3), (3, 7), (4, 6) e (5, 4).
Aviso: cada retângulo toca a curva no seu canto superior esquerdo, porque estamos usando uma soma de Riemann à esquerda.
Somando as áreas dos retângulos, temos 20 unidades2, que é uma aproximação para a área sob a curva.
Problema 3
Aproxime área entre y=h(x) e o eixo x de x=−2 a x=4 usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais.
O gráfico da função h passa pelo ponto (-2, 0), o ponto (0, 4), o ponto (2, 6), e o ponto (4, 4).
Escolha 1 resposta:

Agora vamos fazer algumas aproximações sem a ajuda de gráficos.

Imagine que temos que aproximar a área entre o eixo x e o gráfico de f de x=1 a x=10 usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais. Para isso, temos uma tabela de valores para f.
x14710
f(x)6835
Um bom primeiro passo é descobrir a largura de cada subdivisão. A largura de toda a área que estamos aproximando é de 10−1=9 unidades. Se estamos usando três subdivisões iguais, então a largura de cada retângulo é 9÷3=3.
A partir daí, precisamos descobrir a altura de cada retângulo. Nosso primeiro retângulo está no intervalo [1,4]. Como estamos usando uma soma de Riemann à direita, seu vértice superior direito deve estar sobre a curva onde x=4, então o valor de y é f(4)=8.
De forma similar, podemos descobrir que o segundo retângulo, que fica no intervalo [4,7], tem seu vértice superior direito em f(7)=3.
Nosso terceiro (e último) retângulo tem seu vértice superior direito em f(10)=5.
Agora só resta fazer as contas.
Primeiro retânguloSegundo retânguloTerceiro retângulo
Largura333
Altura835
Área3⋅8=243⋅3=93⋅5=15
Então, depois de calcular as áreas individuais, nós as somamos para obter nossa aproximação: 48 unidades2.
Problema 4
Aproxime a área entre o eixo x e y=g(x) de x=10 até x=16 usando uma soma de Riemann à esquerda com três subdivisões iguais.
x10121416
g(x)5177
A área aproximada é de
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
unidades2.

Agora imagine que temos que aproximar a área entre o eixo x e o gráfico de f(x)=2x de x=−3 até x=3 usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais.
O intervalo total [−3,3] tem 6 unidades de largura, então cada um dos três retângulos deve ter 6÷3=2 unidades de largura.
O primeiro retângulo está em [−3,−1], então sua altura é f(−1)=2−1=0,5. Da mesma maneira, a altura do segundo retângulo é f(1)=21=2 e a altura do terceiro retângulo é f(3)=23=8.
Primeiro retânguloSegundo retânguloTerceiro retângulo
Largura222
Altura0,528
Área2⋅0,5=12⋅2=42⋅8=16
Então, nossa aproximação é de 21 unidades2.
Problema 5
Aproxime a área entre o eixo x e h(x)=3x de x=0 até x=1,5 usando uma soma de Riemann à direita com 3 subdivisões iguais.
A área aproximada é de
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
unidades2.

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Somas de Riemann algumas vezes superestimam e em outras vezes subestimam

Somas de Riemann são aproximações da área sob uma curva, então serão sempre ligeiramente maiores do que a área real (uma superestimação), ou ligeiramente menores do que a área real (uma subestimação).
Problema 6
Esta soma de Riemann é uma superestimação ou uma subestimação da área real?
Escolha 1 resposta:

Problema 7
Considere as somas de Riemann à esquerda e à direita que poderiam aproximar a área sob y=g(x) entre x=2 e x=8.
Estas aproximações são superestimações ou subestimações? Preencha as lacunas.
A soma de Riemann à esquerda estaria totalmente
da curva, então isso é uma
.
A soma de Riemann à direita estaria inteiramente
da curva, então isso é uma
.

Problema 8
A função contínua g é mostrada no gráfico.
Nós estamos interessados na área sob a curva entre x=−7 e x=7 e estamos considerando usar somas de Riemann para aproximá-la.
Ordene as áreas da menor (em cima) até a maior (em baixo).
1

Problema 9
A tabela nos dá valores selecionados da função contínua e crescente g.
x−2381318
g(x)1319283141
Nós estamos interessados na área sob a curva entre x=−2 e x=18 e estamos considerando usar somas de Riemann à esquerda e à direita, cada uma com quatro subdivisões iguais para aproximá-la.
Ordene as áreas da menor (em cima) até a maior (em baixo).
1

Quer praticar mais? Tente este exercício.
Aviso: se a soma de Riemann é uma superestimação ou uma subestimação depende de se a função for crescente ou decrescente no intervalo e se a soma de Riemann é à direita ou à esquerda.

Pontos principais que devem ser lembrados

Como aproximar a área sob uma curva com retângulos

A primeira coisa que você deve ter em mente quando ouvir as palavras "soma de Riemann" é que nós estamos usando retângulos para estimar a área sob a curva. Devemos visualizar uma situação como esta:
Uma função está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico é uma curva. A curva começa no eixo positivo y, move-se para cima e termina no quadrante 1. Uma área entre a curva e os eixos no quadrante 1 está sombreada. A área sombreada está dividida em 4 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores esquerdos.

Quanto mais subdivisões, melhor a aproximação

Em geral, quanto mais subdivisões (ou seja, retângulos) usarmos para aproximar uma área, melhor será a aproximação.
O gráfico da função tem a região sob a curva dividida em 6 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores esquerdos.

Somas de Riemann à esquerda x à direita

Tente não confundi-las. Uma soma de Riemann à esquerda usa retângulos cujos vértices superiores esquerdos se situam na curva. Uma soma de Riemann à direita usa retângulos cujos vértices superiores direitos se situam na curva.
Soma de Riemann à esquerdaSoma de Riemann à direita
O gráfico da função tem a região sob a curva dividida em 4 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores esquerdos.
O gráfico da função tem a região sob a curva dividida em 4 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores direitos.

Superestimação e subestimação

Quando usamos somas de Riemann, algumas vezes obtemos uma superestimação e outras vezes uma subestimação. É importante ser capaz de discernir quando uma determinada soma de Riemann é uma superestimação e quando ela é uma subestimação.
Em geral, se uma função for sempre crescente ou sempre decrescente em um intervalo, nós podemos dizer se a aproximação da soma de Riemann será uma superestimação ou uma subestimação com base em se ela é uma soma de Riemann à esquerda ou à direita.
DireçãoSoma de Riemann à esquerdaSoma de Riemann à direita
CrescenteSubestimaçãoSuperestimação
DecrescenteSuperestimaçãoSubestimação

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