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Cálculo integral

Curso: Cálculo integral > Unidade 1

Lição 2: Aproximação com somas de Riemann
Matemática
Cálculo integral
Integrais
Aproximação com somas de Riemann
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Somas de Riemann à esquerda e à direita

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Áres sob curvas podem ser estimadas com retângulos. Tais estimativas são chamadas de somas de Riemann.
Suponha que nós queremos calcular a área sob essa curva:
Uma função está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico é uma curva. A curva começa no eixo y positivo, se move para cima com concavidade para cima e termina no quadrante 1. Uma área entre a curva e os eixos está sombreada.
Podemos ter dificuldades para calcular a área exata, mas podemos fazer uma aproximação usando retângulos:
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 4 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo.
E nossa aproximação fica melhor se usamos mais retângulos:
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 8 retângulos de largura igual.
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 16 retângulos de largura igual.
Esses tipos de aproximações são chamados de somas de Riemann e são uma ferramenta fundamental para o cálculo integral. Nosso objetivo, por hora, é nos concentrar em compreender dois tipos de somas de Riemann: somas de Riemann à esquerda e somas de Riemann à direita.

Somas de Riemann à esquerda e à direita

Para fazer uma soma de Riemann, devemos escolher como vamos fazer nossos retângulos. Uma opção possível é fazê-los tocar a curva com os cantos superiores esquerdos. Isto é chamado de soma de Riemann à esquerda.
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 4 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo. Portanto, todos os retângulos estão abaixo da curva.
Outra opção é fazer com que nossos retângulos toquem a curva com seus cantos superiores direitos. Esta é uma soma de Riemann à direita.
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 4 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior direito. Portanto, todos os triângulos se erguem acima da curva.
Nenhuma opção é estritamente melhor que a outra.
Problema 1
Que tipo de soma de Riemann é descrita pelo diagrama?
Escolha 1 resposta:

Subdivisões/partições da soma de Riemann

Termos comumente mencionados quando trabalhamos com somas de Riemann são "subdivisões" ou "partições". Estes se referem ao número de partes em que dividimos o intervalo de x, para obter os retângulos. Simplificando, o número de subdivisões (ou partições) é o número de retângulos que usamos.
Subdivisões podem ser uniformes, o que significa que elas têm a mesma largura, ou não uniformes.
Subdivisões uniformesSubdivisões não uniformes
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 3 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo.
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 3 retângulos de larguras diferentes. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo.
Problema 2
Qual é a descrição correta das subdivisões nessa soma de Riemann?
Escolha 1 resposta:

Problemas de soma de Riemann com gráficos

Imagine que tenhamos que aproximar a área entre y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis e o eixo x de x, equals, 2 a x, equals, 6.
A função g está representada graficamente. O eixo x vai de 0 a 9. O gráfico é uma curva suave. A curva começa no quadrante 4, move-se para cima até um máximo relativo em aproximadamente (3, 7), move-se para baixo até um mínimo relativo em aproximadamente (4,4; 3,5), move-se para cima e termina no quadrante 1. Uma região entre a curva e o eixo x está sombreada entre x = 2 e x = 6.
Digamos que decidimos usar uma soma de Riemann à esquerda com quatro subdivisões uniformes.
O gráfico da função g tem a região sombreada dividida em 4 retângulos, cada um com largura igual a1. Cada retângulo toca a curva no canto superior esquerdo. Os cantos estão em (2, 3), (3, 7), (4, 6) e (5, 4).
Aviso: cada retângulo toca a curva no seu canto superior esquerdo, porque estamos usando uma soma de Riemann à esquerda.
Somando as áreas dos retângulos, temos 20 unidadessquared, que é uma aproximação para a área sob a curva.
Problema 3
Aproxime área entre y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis e o eixo x de x, equals, minus, 2 a x, equals, 4 usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais.
O gráfico da função h passa pelo ponto (-2, 0), o ponto (0, 4), o ponto (2, 6), e o ponto (4, 4).
Escolha 1 resposta:

Agora vamos fazer algumas aproximações sem a ajuda de gráficos.

Imagine que temos que aproximar a área entre o eixo x e o gráfico de f de x, equals, 1 a x, equals, 10 usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais. Para isso, temos uma tabela de valores para f.
x14710
f, left parenthesis, x, right parenthesis6835
Um bom primeiro passo é descobrir a largura de cada subdivisão. A largura de toda a área que estamos aproximando é de 10, minus, 1, equals, 9 unidades. Se estamos usando três subdivisões iguais, então a largura de cada retângulo é 9, divided by, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd.
A partir daí, precisamos descobrir a altura de cada retângulo. Nosso primeiro retângulo está no intervalo open bracket, 1, comma, 4, close bracket. Como estamos usando uma soma de Riemann à direita, seu vértice superior direito deve estar sobre a curva onde x, equals, 4, então o valor de y é f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
De forma similar, podemos descobrir que o segundo retângulo, que fica no intervalo open bracket, 4, comma, 7, close bracket, tem seu vértice superior direito em f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab.
Nosso terceiro (e último) retângulo tem seu vértice superior direito em f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c.
Agora só resta fazer as contas.
Primeiro retânguloSegundo retânguloTerceiro retângulo
Largurastart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accd
Alturastart color #e07d10, 8, end color #e07d10start color #7854ab, 3, end color #7854abstart color #ca337c, 5, end color #ca337c
Áreastart color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15
Então, depois de calcular as áreas individuais, nós as somamos para obter nossa aproximação: 48 unidadessquared.
Problema 4
Aproxime a área entre o eixo x e y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis de x, equals, 10 até x, equals, 16 usando uma soma de Riemann à esquerda com três subdivisões iguais.
x10121416
g, left parenthesis, x, right parenthesis5177
A área aproximada é de
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidadessquared.

Agora imagine que temos que aproximar a área entre o eixo x e o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript de x, equals, minus, 3 até x, equals, 3 usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais.
O intervalo total open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket tem 6 unidades de largura, então cada um dos três retângulos deve ter 6, divided by, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd unidades de largura.
O primeiro retângulo está em open bracket, minus, 3, comma, minus, 1, close bracket, então sua altura é f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10. Da mesma maneira, a altura do segundo retângulo é f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab e a altura do terceiro retângulo é f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c.
Primeiro retânguloSegundo retânguloTerceiro retângulo
Largurastart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accd
Alturastart color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10start color #7854ab, 2, end color #7854abstart color #ca337c, 8, end color #ca337c
Áreastart color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10, equals, 1start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16
Então, nossa aproximação é de 21 unidadessquared.
Problema 5
Aproxime a área entre o eixo x e h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, x, end fraction de x, equals, 0 até x, equals, 1, comma, 5 usando uma soma de Riemann à direita com 3 subdivisões iguais.
A área aproximada é de
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidadessquared.

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Somas de Riemann algumas vezes superestimam e em outras vezes subestimam

Somas de Riemann são aproximações da área sob uma curva, então serão sempre ligeiramente maiores do que a área real (uma superestimação), ou ligeiramente menores do que a área real (uma subestimação).
Problema 6
Esta soma de Riemann é uma superestimação ou uma subestimação da área real?
Escolha 1 resposta:

Problema 7
Considere as somas de Riemann à esquerda e à direita que poderiam aproximar a área sob y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis entre x, equals, 2 e x, equals, 8.
Estas aproximações são superestimações ou subestimações? Preencha as lacunas.
A soma de Riemann à esquerda estaria totalmente
da curva, então isso é uma
.
A soma de Riemann à direita estaria inteiramente
da curva, então isso é uma
.

Problema 8
A função contínua g é mostrada no gráfico.
Nós estamos interessados na área sob a curva entre x, equals, minus, 7 e x, equals, 7 e estamos considerando usar somas de Riemann para aproximá-la.
Ordene as áreas da menor (em cima) até a maior (em baixo).
1

Problema 9
A tabela nos dá valores selecionados da função contínua e crescente g.
xminus, 2381318
g, left parenthesis, x, right parenthesis1319283141
Nós estamos interessados na área sob a curva entre x, equals, minus, 2 e x, equals, 18 e estamos considerando usar somas de Riemann à esquerda e à direita, cada uma com quatro subdivisões iguais para aproximá-la.
Ordene as áreas da menor (em cima) até a maior (em baixo).
1

Quer praticar mais? Tente este exercício.
Aviso: se a soma de Riemann é uma superestimação ou uma subestimação depende de se a função for crescente ou decrescente no intervalo e se a soma de Riemann é à direita ou à esquerda.

Pontos principais que devem ser lembrados

Como aproximar a área sob uma curva com retângulos

A primeira coisa que você deve ter em mente quando ouvir as palavras "soma de Riemann" é que nós estamos usando retângulos para estimar a área sob a curva. Devemos visualizar uma situação como esta:
Uma função está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico é uma curva. A curva começa no eixo positivo y, move-se para cima e termina no quadrante 1. Uma área entre a curva e os eixos no quadrante 1 está sombreada. A área sombreada está dividida em 4 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores esquerdos.

Quanto mais subdivisões, melhor a aproximação

Em geral, quanto mais subdivisões (ou seja, retângulos) usarmos para aproximar uma área, melhor será a aproximação.
O gráfico da função tem a região sob a curva dividida em 6 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores esquerdos.

Somas de Riemann à esquerda x à direita

Tente não confundi-las. Uma soma de Riemann à esquerda usa retângulos cujos vértices superiores esquerdos se situam na curva. Uma soma de Riemann à direita usa retângulos cujos vértices superiores direitos se situam na curva.
Soma de Riemann à esquerdaSoma de Riemann à direita
O gráfico da função tem a região sob a curva dividida em 4 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores esquerdos.
O gráfico da função tem a região sob a curva dividida em 4 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores direitos.

Superestimação e subestimação

Quando usamos somas de Riemann, algumas vezes obtemos uma superestimação e outras vezes uma subestimação. É importante ser capaz de discernir quando uma determinada soma de Riemann é uma superestimação e quando ela é uma subestimação.
Em geral, se uma função for sempre crescente ou sempre decrescente em um intervalo, nós podemos dizer se a aproximação da soma de Riemann será uma superestimação ou uma subestimação com base em se ela é uma soma de Riemann à esquerda ou à direita.
DireçãoSoma de Riemann à esquerdaSoma de Riemann à direita
CrescenteSubestimaçãoSuperestimação
DecrescenteSuperestimaçãoSubestimação

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