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Problema de movimento com aproximação por soma de Riemann

Aqui vemos como estimar a área sob uma curva que representa a velocidade estima a distância percorrida. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

um ciclista começa a pedalar e acelera por 12 segundos à velocidade vt do ciclista em intervalos de dois segundos em pés por segundo é dada na tabela então a gente tem a nossa tabela por exemplo quando chegou a 4 a velocidade do nosso crista 7.5 quando nosso t8 a velocidade dele é 9 então considero gráfico de velocidade por tempo considere r 6 a soma das áreas de 6 retângulos de mão direita com subdivisões iguais r 6 seria uma aproximação para a distância total percorrida em pés durante esses 12 segundos qual o valor de r 6 então aqui no enunciado ele falou que a gente considerar o gráfico de velocidade por tempo vamos votar esse gráfico então me ver como fica então esse aqui é o nosso gráfico no eixo y a gente tem a velocidade ea cno x a gente tem o tempo é o tempo varia de 0 até 12 então vamos colocar esses valores nosso eixo aqui a gente tem um ponto zero seria 2 4 6 8 10 e 12 aqui em relação à velocidade ela vai de 0 a 10 aqui seria o nosso ponto 5 e aqui 10 vamos botar então os pontos que lhe deu aqui pra gente na tabela 0 a velocidade também é zero não estaria aqui categoria 2 lei qual a 6 prata igual a 4 na velocidade a 7.5 pra ter voz eis nossa velocidade 8.589 a cidade é 9 até 10 nossa velocidade nove e meio e pra ter doadores nossa velocidade a 10 estão plantando os pontos aqui agora a gente pode traçar um esboço de como ficaria esse gráfico basicamente ligando esses pontos então ele ficaria parecido com isto aqui esse é o nosso gráfico velocidade por tempo que ele pediu pra gente considerar então ele quer saber a soma das áreas dos 6 e tangos de mão direita com subdivisões iguais vamos pensar um pouco sobre isso então é quando ele fala sobre divisões iguais ele está se referindo ao nosso estilo da variável independente nesse caso aqui é o tempo então aqui na nossa escala que vai de 0 a 12 ele quer saber a área de 6 retângulos com subdivisões iguais então dividindo 12 por 6 retângulos igualmente a gente tem que cada um deles vai ter dois de base duas unidades de tempo de base então aqui seria o nosso primeiro retângulo que o nosso segundo nosso terceiro retângulo o quarto o quinto eo sexto agora que ele quer dizer com um retângulo de mão direita é basicamente ele quer dizer que à altura do nosso retângulo vai ser definida pelo ponto que está à direita então aqui por exemplo nesse nosso primeiro retângulo que vai de zero a dois segundos à altura dele vai ser definida pelo ponto dois segundos seria aqui e não pelo ponto zero e ser um retângulo de mão esquerda então vamos começar a fazer nós retângulos de mão direita esse aqui seria o nosso primeiro vou começar só colocar no topo deles depois eu faço resto nosso segundo o terceiro o quarto o quinto e o nosso sexto retângulo agora só vou finalizar aqui fechando eles estão aqui a gente tem nosso primeiro retângulo o nosso segundo retângulo o terceiro e tango 4º retângulo um quinto e finalmente o sexto então e aquino anunciado ele fala também que r 6 seria uma aproximação para a distância total percorrida por que é ser uma aproximação para a distância percorrida a gente sabe que a distância percorrida é igual a velocidade vezes o tempo quando a velocidade é constante nesse nosso exemplo claramente nossa velocidade está avaliando porque o nosso cristo está acelerando mas a gente pode separar isso intervalo de dois segundos imaginar que durante esses dois segundos à velocidade ele foi constante nesse caso a gente pegou a maior novidade que a velocidade no final desses dois segundos então a gente pode calcular essa área e isso vai ser uma estimativa de quanto ele percorreu durante esses dois primeiros segundos então a gente pode calcular essa área aqui então essa área referente ao 1º retângulo essa área seria 6 que a nossa altura vezes os dois segundos então nesses dois primeiros segundos ele teria percorrido 12 pés então essa aproximação que está superestimada ou subestimada nesse caso ela está superestimada porque como falei a gente pegou o maior valor da velocidade a gente pegou o valor na velocidade no final dos dois segundos se a gente tivesse feito retângulos de mão esquerda a gente estaria subestimando essa distância percorrida mas de qualquer forma é uma aproximação tão vamos calcular agora o r 6 r 600 não seria agente calculou a área do primeiro retângulo seria então 12 agora vamos calcular a área desse retângulo aqui o segundo retângulo a gente tem a velocidade no ponto 4 s ponto 5 então olha diz retângulo aqui não é 7.532 que é igual a 15 partindo pro terceiro retângulo a gente tem que a altura dele no tempo 6 a velocidade é 8.5 então a área desse retângulo vai ser 8.5 vezes 2 17 do nosso quarto retângulo à altura dele é nove vezes 2 18 o nosso quinto retângulo à altura dele é 9.5 x 2 da 19 e para o nosso último retângulo à altura dele é ter 10 10 às 21 20 então pra achar o rc6 agora basta a gente somar esses valores aqui então vamos somar isso aqui é nossa e 6 vai ser igual a 12 mais 15 e 27 mas 1744 mas 1862 mas e 9 81 mais 20 101 nosso r 600 não seria 101 vou colocar aqui pés porque seria também a estimativa uma aproximação da distância total percorrida de ciclista durante esses 12 segundos como eu disse essa aproximação que a gente fez é superestimada porque a gente usou os retângulos de mão direita se a gente tivesse usado os retângulos de mão esquerda seria uma estimativa subestimada