Problema de movimento com aproximação por soma de Riemann

RKA3JV - Um ciclista começa a pedalar e acelera por 12 segundos. A velocidade v(t) do ciclista em intervalos de 2 segundos, em pés por segundo, é dada na tabela. Então, a gente tem aqui a nossa tabela. Por exemplo, quando t = 4, a velocidade do nosso ciclista é 7,5. Quando nosso t = 8, a velocidade dele é 9. Então, considere o gráfico de velocidade por tempo. Considere R(6) a soma das áreas de 6 retângulos de mão direita com subdivisões iguais. R(6) seria uma aproximação para a distância total percorrida, em pés, durante estes 12 segundos. Qual o valor de R(6)? Então, aqui no enunciado, ele falou para a gente considerar o gráfico de velocidade por tempo. Vamos plotar este gráfico e ver como fica. Então, este aqui é o nosso gráfico. No eixo "y" a gente tem a velocidade e no eixo "x" a gente tem o tempo. O tempo varia de zero até 12. Então, vamos colocar estes valores no nosso eixo. Aqui a gente tem um ponto zero. Aqui seria 2, 4, 6, 8, 10 e 12. Aqui em relação à velocidade, ela vai de zero a 10. Aqui seria o nosso ponto 5 e aqui 10. Vamos plotar, então, os pontos que ele deu aqui para gente na tabela. "t" é zero, a velocidade também é zero, então a gente estaria aqui. Para t = 2, v = 6. Para t = 4, a nossa velocidade é 7,5. Para t = 6, a nossa velocidade é 8,5. Para t = 8, a nossa velocidade é 9. Para t = 10 a nossa velocidade é 9,5. E para t = 12, a nossa velocidade é 10. Então, plotando os pontos aqui, agora a gente pode traçar um esboço de como ficaria este gráfico, basicamente, ligando estes pontos. Então, ele ficaria parecido com isto aqui. Este é o nosso gráfico velocidade por tempo, que ele pediu para a gente considerar. Então, ele quer saber a soma das áreas dos 6 retângulos de mão direita com subdivisões iguais. Vamos pensar um pouco sobre isso. Quando ele fala subdivisões iguais, ele está se referindo ao nosso eixo da variável independente. Neste caso, aqui é o tempo. Então, aqui na nossa escala, a gente vai de zero a 12, e ele quer saber a área de 6 retângulos com subdivisões iguais. Então, dividindo 12 por 6 retângulos igualmente, a gente tem que cada um deles vai ter 2 de base. Duas unidades de tempo de base. Então, aqui seria o nosso primeiro retângulo, aqui o nosso segundo, o nosso terceiro retângulo, o quarto, o quinto e o sexto. Agora, o que ele quer dizer com um retângulo de mão direita? Basicamente, ele quer dizer que a altura do nosso retângulo vai ser definida pelo ponto que está à direita. Então, aqui por exemplo, neste nosso primeiro retângulo que vai de zero a 2 segundos, a altura dele vai ser definida pelo ponto 2 segundos, que seria aqui. E não pelo ponto zero, que seria um retângulo de mão esquerda. Então, vamos começar a fazer o nosso retângulo de mão direita. Este aqui seria o nosso primeiro. Eu vou começar só colocando o topo deles, depois eu faço resto. Nosso segundo, o terceiro, o quarto, o quinto e o nosso sexto retângulo. Agora, eu só vou finalizar aqui fechando-os. Então, aqui a gente tem o nosso primeiro retângulo, o nosso segundo retângulo, o nosso terceiro retângulo, o quarto retângulo, o quinto e, finalmente, o sexto retângulo. Aqui no enunciado ele fala também que R(6) seria uma aproximação para a distância total percorrida. Por que R(6) seria uma aproximação para a distância percorrida? A gente sabe que a distância percorrida é igual à velocidade vezes o tempo, quando a velocidade é constante. Neste nosso exemplo, claramente, nossa velocidade está variando. Porque o nosso ciclista está acelerando. Mas a gente pode separar isto em intervalo de dois segundos e imaginar que durante estes 2 segundos a velocidade dele foi constante. Neste caso, a gente pegou a maior velocidade que é a velocidade no final destes 2 segundos. Então, a gente pode calcular essa área e isto vai ser uma estimativa de quanto ele percorreu durante estes dois primeiros segundos. Então, a gente pode calcular esta área aqui. Então, esta área referente ao primeiro retângulo. Esta área seria 6, que é a nossa altura vezes os 2 segundos. Então, nestes 2 primeiros segundos ele teria percorrido 12 pés. Então, essa é uma aproximação que está superestimada ou subestimada? Neste caso, ela está superestimada. Porque, como eu falei, a gente pegou o maior valor da velocidade, a gente pegou o valor da velocidade no final dos 2 segundos. Se a gente tivesse feito retângulos de mão esquerda, a gente estaria subestimando esta distância percorrida. Mas, de qualquer forma, é uma aproximação. Então, vamos calcular agora o R(6). A gente calculou a área do primeiro retângulo, que seria 12. Agora, vamos calcular a área deste retângulo aqui, o segundo retângulo. A gente tem que a velocidade no ponto 4 é 7,5. Então, a área deste retângulo aqui vai 7,5 vezes 2 que é igual a 15. Partindo para o terceiro retângulo, a gente tem que a altura dele no tempo 6 a velocidade é 8,5. Então, a área deste retângulo vai ser 8,5 vezes 2, igual a 17. Para o nosso quarto retângulo, a altura dele é 9 vezes 2 = 18. O nosso quinto retângulo, a altura dele é 9,5 vezes 2 = 19. E para o nosso último retângulo, a altura dele é 10, 10 vezes 2 = 20. Então, para achar o R(6) agora, basta a gente somar estes valores aqui. Então, vamos somar isso aqui. O nosso R(6) vai ser igual a 12 + 15 = 27 + 17 = 44 44 + 18 = 62 + 19 = 81 + 20 = 101. O nosso R(6) seria 101. Eu vou colocar aqui pés, porque seria também a estimativa, uma aproximação da distância total percorrida deste ciclista durante estes 12 segundos. Como eu disse, esta aproximação que a gente fez é superestimada, porque a gente usou os retângulos de mão direita. Se a gente tivesse usado os retângulos de mão esquerda, seria uma estimativa subestimada.