Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela

RKA8JV - Olá, meu amigo minha ou amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver mais um exemplo sobre a soma de Riemann. Este exemplo diz o seguinte: imagine que temos que aproximar a área entre o eixo "x" e o gráfico de "f" de "x = 1'' a "x = 10'' usando uma soma de Riemann à direita com 3 subdivisões iguais. Para isso, temos uma tabela de valores para f". Eu gostaria que, neste momento, você pausasse este vídeo e tentasse resolver isso sozinho ou sozinha. Veja se você consegue encontrar uma aproximação para a área entre o eixo "x" e f(x) de "x = 1" até "x = 10". Tente fazer isso usando a soma de Riemann à direita com 3 subdivisões iguais. Vai lá, eu te espero aqui. Ok, eu estou considerando aqui que você tentou, então, vamos fazer isso juntos agora. Uma coisa interessante sobre este exemplo, é que não temos informações sobre toda a função, temos apenas o valor da função em certos pontos. Mas como a gente vai ver, isto é tudo que precisamos para obter uma aproximação para a área. Não sabemos qual é exatamente o valor da área, mas com estes pontos, teremos a capacidade de realizar uma aproximação utilizando a soma de Riemann à direita. Para começar, eu vou fazer um gráfico aqui. A gente não precisa de um gráfico para realizar a soma de Riemann, mas o gráfico nos ajuda a visualizar e pensar melhor em tudo o que está acontecendo. Então vamos ver aqui. A gente está indo de "x = 1" até "x = 10", então, vamos colocar esse intervalo aqui no gráfico. Eu vou colocar aqui no eixo horizontal. Aqui na tabela, temos alguns valores informados para f(x). Temos f(x) para "x = 1" , f(x) para "x = 4", f(x) para "x = 7" e f(x) para "x = 10''. Eu vou colocar aqui também os valores no eixo vertical, e eu vou marcar os pontos aqui agora. Quando "x" é 1, temos 6, então, estamos aqui. Quando o "x = 4", temos este ponto aqui, em que f(x) = 8. Para "x = 7", temos este ponto aqui, o f(x) = 3. Agora, para "x = 10", temos aqui f(x) = 5, então, o ponto está aqui. E isso é tudo o que sabemos sobre a função, inclusive a gente nem sabe exatamente como ela se parece. Nossa função pode se parecer com isso aqui, pode fazer algo mais ou menos assim, ou, ela pode oscilar muito rapidamente também, ou ainda, pode ter este formato, meio que apenas ligando os pontos. Não sabemos como ela é. Mesmo assim, podemos fazer uma aproximação usando a soma de Riemann à direita com 3 subdivisões iguais. Então, como fazemos isso? Bem, estamos pensando aqui sobre a área de "x = 1" até "x = 10", certo? Então vamos deixar claro aqui esses limites. Aqui temos "x = 1" e aqui temos ''x = 10". Queremos vamos fazer 3 subdivisões iguais, e aqui conseguimos fazer isso de uma forma muito tranquila. Aqui, podemos ter uma subdivisão, aqui uma outra subdivisão. Ah, quando você faz as somas de Riemann, você não precisa ter subdivisões iguais, embora isso seja feito com muita frequência. Ok, acabamos de dividir essa região entre 1 e 10 em 3 seções iguais com 3 larguras iguais. A pergunta a ser feita que agora é: como definimos a altura dessas subdivisões para que a gente tem a retângulos a fim de utilizar a soma de RIemann à direita? Se a gente estivesse fazendo uma soma de Riemann à esquerda, a gente usaria o limite esquerdo de cada uma das subdivisões e o valor da função nesse limite para definir a altura do retângulo. Isso seria uma soma de Riemann à esquerda, mas estamos fazendo uma soma de Riemann à direita, sendo assim, usamos o limite direito de cada uma dessas subdivisões para definir a altura. O limite direito desta primeira subdivisão é quando "x = 4", ou seja, para esta primeira subdivisão, temos a altura aqui em f(4), que é 8. Então, temos aqui a altura do nosso primeiro retângulo, e isso nos dá uma aproximação para a área desta parte aqui da curva. Da mesma, forma para esta segunda subdivisão, como estamos usando a soma de Riemann à direita, vamos usar o valor da função no limite direito. O limite direito é 7. Sendo assim, temos o valor da função sendo 3, e este é o nosso segundo retângulo, o que vai nos permitir aproximar a área para esta região do gráfico. Por último, mas não menos importante, vemos o limite direito desta terceira subdivisão, ou seja, quando "x = 10". Aí, temos que f(10) = 5, assim, teremos aqui o nosso terceiro retângulo. Agora, para utilizar a soma de Riemann à direita para encontrar uma aproximação para a área, basta adicionar a área desses retângulos formados nessas 3 subdivisões. Mas para isso, precisamos calcular a área de cada um desses 3 retângulos. Começando aqui pelo primeiro retângulo, temos: qual é a largura deste retângulo? É 3, não é? E a altura? A altura aqui de f(4) é 8, então, multiplicamos 3 com 8. Assim, temos que a área deste retângulo vai ser igual a 24 unidades quadradas, sejam quais forem as unidades. Aqui no segundo, temos 3 vezes a altura, que aqui é 3. f(7) é 3, não é? 3 vezes 3 é 9, 9 unidades quadradas. Agora aqui, temos 3 vezes a altura deste terceiro retângulo, que neste caso é 5. f(10) é 5, 3 vezes 5 = 15. Agora, para encontrar a aproximação da área basta somar esses 3 valores. Assim teremos, 24 + 9 + 15. 9 + 15 é 24, então, temos 24 + 24, que é 48. Observe, que apenas utilizando os valores da tabela a gente conseguiu chegar a essa aproximação. Mas é importante perceber que nós não sabemos o quão boa é a nossa aproximação, já que isso vai depender do que a função está fazendo. Talvez, a função faça algo assim. Se ela estiver fazendo apenas isso, o que acabamos de fazer realmente foi uma ótima aproximação. Porém, a função pode estar fazendo isso aqui. Neste caso, a nossa aproximação teria sido algo muito ruim, mas, pelo menos, a gente conseguiu fazer uma aproximação usando uma soma de Riemann à direita com os dados desta tabela aqui. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!