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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 2: Aproximação com somas de Riemann- Introdução à aproximação de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo prático: sobre e subestimação de somas de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de ponto médio
- Somas trapezoidais
- Entendendo a regra do trapézio
- Somas de ponto médio e trapezoidais
- Revisão sobre as somas de Riemann
- Problema de movimento com aproximação por soma de Riemann
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Introdução à aproximação de Riemann
Como aproximar a área sob uma curva usando alguns retângulos. Isto é chamado "soma de Riemann". Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula nós vamos tentar achar
a área aproximada entre a curva x² mais 1 e o eixo x entre x igual a 1
e x igual a 3, ou seja, essa área aqui. Vamos achá-la aproximada ao construir quatro
retângulos sobre a curva com a mesma largura. Então deixe-me dividir
a curva em quatro retângulos. Esses retângulos têm a mesma base,
que podemos chamar de Δx, [delta x] e que podem ser calculados como
essa distância percorrida, que pode ser calculada ao pegar esse 3
e subtrair de 1, então 3 menos 1. Como temos quatro retângulos,
devemos dividir isso por 4. Com isso, se resolver Δx e
simplificar, você vai ter ½, ou seja, cada pedacinho
desse aqui vale ½. Então aqui vai estar ½, isso porque nós pegamos uma unidade
e somamos com ½, ficando com 1,5. A mesma coisa acontece aqui. Se pegarmos 2 e somarmos com ½,
esse aqui vai ser o x igual a 2,5. Agora, como podemos determinar
a altura desses retângulos? Eu vou usar a função avaliada no limite esquerdo
para definir a altura porque vai ficar mais fácil. Se você observar, esse aqui é f(1), que é
a altura do nosso primeiro retângulo. De novo, no limite esquerdo nós temos a
altura do segundo retângulo, que é f(1,5), ou seja, f(1,5) é a altura
desse retângulo. Se continuarmos pensando desse jeito,
a altura desse retângulo vai ser f(2), que é o retângulo que
estou pintando em verde. Por fim, o quarto retângulo
tem a altura igual a f(2,5). E claro, em todos esses retângulos eu
estou considerando o limite esquerdo. Isso vai nos ajudar a calcular
melhor a nossa área. Agora que entendemos isso, qual é essa área,
utilizando a soma de todos esses retângulos? Claro que a nossa área
não vai ser exata, até porque nós estamos
deixando de fora esse pedacinho, esse, esse aqui e esse aqui, mas vamos
encontrar uma área aproximada. Se utilizar infinitos retângulos, você vai
determinar a área mais próxima da realidade. Então para encontrar a área aproximada,
nós vamos somar a área dos quatro retângulos. A área do primeiro é f(1),
que é a altura do triângulo azul, vezes a base, que é Δx,
então vezes Δx, e somamos isso com a área
do segundo retângulo, então mais f(1,5), que é
a altura desse retângulo, vezes Δx, que é a base, mais a área do segundo retângulo,
que vai ser f(2) vezes Δx, e somamos isso com a área do quarto
retângulo, que tem f(2,5) como a altura, e multiplicamos pela base, que é Δx. Isso vai nos dar a área aproximada
sob essa curva aqui. Calculando isso, nós vamos ter f(1),
que vai dar 1² mais 1, então 2, vezes Δx, que é ½,
mais f(1,5) vezes Δx. f(1,5) vai ser 1,5² mais 1,
que vai dar 3,25, vezes ½, mais f(2) vezes Δx. Então calculando f(2), vamos
ter 2² mais 1, que vai dar 5, vezes ½ mais
f(2,5) vezes Δx. Calculando f(2,5), nós vamos ter
2,5² mais 1, que vai dar 7,25, vezes ½. E claro, isso vai ser igual
à área aproximada. Nessa parte nós podemos colocar ½
em evidência, ficando com ½ que multiplica (2 mais 3,25
mais 5 mais 7,25). Isso vai ser igual a ½
que multiplica isso aqui e, se resolvermos,
vai ser igual a 17,5, e se multiplicarmos isso,
vamos ficar com 8,75. Então a área aproximada
é igual a 8,75 unidades de área, ou seja, nós calculamos a soma
das áreas desses retângulos, mas ainda está faltando
esses pedaços aqui. Como eu disse, é uma área aproximada. Na próxima aula nós vamos
tentar generalizar isso, ou seja, nós vamos aprender a calcular a área
dessa curva de uma função qualquer e de um número arbitrário de retângulos. Eu espero que essa aula tenha ajudado
e até a próxima, pessoal!