Introdução à aproximação de Riemann

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos tentar achar a área aproximada entre a curva x² mais 1 e o eixo x entre x igual a 1 e x igual a 3, ou seja, essa área aqui. Vamos achá-la aproximada ao construir quatro retângulos sobre a curva com a mesma largura. Então deixe-me dividir a curva em quatro retângulos. Esses retângulos têm a mesma base, que podemos chamar de Δx, [delta x] e que podem ser calculados como essa distância percorrida, que pode ser calculada ao pegar esse 3 e subtrair de 1, então 3 menos 1. Como temos quatro retângulos, devemos dividir isso por 4. Com isso, se resolver Δx e simplificar, você vai ter ½, ou seja, cada pedacinho desse aqui vale ½. Então aqui vai estar ½, isso porque nós pegamos uma unidade e somamos com ½, ficando com 1,5. A mesma coisa acontece aqui. Se pegarmos 2 e somarmos com ½, esse aqui vai ser o x igual a 2,5. Agora, como podemos determinar a altura desses retângulos? Eu vou usar a função avaliada no limite esquerdo para definir a altura porque vai ficar mais fácil. Se você observar, esse aqui é f(1), que é a altura do nosso primeiro retângulo. De novo, no limite esquerdo nós temos a altura do segundo retângulo, que é f(1,5), ou seja, f(1,5) é a altura desse retângulo. Se continuarmos pensando desse jeito, a altura desse retângulo vai ser f(2), que é o retângulo que estou pintando em verde. Por fim, o quarto retângulo tem a altura igual a f(2,5). E claro, em todos esses retângulos eu estou considerando o limite esquerdo. Isso vai nos ajudar a calcular melhor a nossa área. Agora que entendemos isso, qual é essa área, utilizando a soma de todos esses retângulos? Claro que a nossa área não vai ser exata, até porque nós estamos deixando de fora esse pedacinho, esse, esse aqui e esse aqui, mas vamos encontrar uma área aproximada. Se utilizar infinitos retângulos, você vai determinar a área mais próxima da realidade. Então para encontrar a área aproximada, nós vamos somar a área dos quatro retângulos. A área do primeiro é f(1), que é a altura do triângulo azul, vezes a base, que é Δx, então vezes Δx, e somamos isso com a área do segundo retângulo, então mais f(1,5), que é a altura desse retângulo, vezes Δx, que é a base, mais a área do segundo retângulo, que vai ser f(2) vezes Δx, e somamos isso com a área do quarto retângulo, que tem f(2,5) como a altura, e multiplicamos pela base, que é Δx. Isso vai nos dar a área aproximada sob essa curva aqui. Calculando isso, nós vamos ter f(1), que vai dar 1² mais 1, então 2, vezes Δx, que é ½, mais f(1,5) vezes Δx. f(1,5) vai ser 1,5² mais 1, que vai dar 3,25, vezes ½, mais f(2) vezes Δx. Então calculando f(2), vamos ter 2² mais 1, que vai dar 5, vezes ½ mais f(2,5) vezes Δx. Calculando f(2,5), nós vamos ter 2,5² mais 1, que vai dar 7,25, vezes ½. E claro, isso vai ser igual à área aproximada. Nessa parte nós podemos colocar ½ em evidência, ficando com ½ que multiplica (2 mais 3,25 mais 5 mais 7,25). Isso vai ser igual a ½ que multiplica isso aqui e, se resolvermos, vai ser igual a 17,5, e se multiplicarmos isso, vamos ficar com 8,75. Então a área aproximada é igual a 8,75 unidades de área, ou seja, nós calculamos a soma das áreas desses retângulos, mas ainda está faltando esses pedaços aqui. Como eu disse, é uma área aproximada. Na próxima aula nós vamos tentar generalizar isso, ou seja, nós vamos aprender a calcular a área dessa curva de uma função qualquer e de um número arbitrário de retângulos. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!