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Somas trapezoidais

A área sob a curva é comumente aproximada usando retângulos (por exemplo, esquerda, direita e o ponto médio da soma de Riemann), mas também pode ser aproximada por trapézios. Na verdade, somas trapezoidais dão uma aproximação melhor, em geral, do que somas retangulares que usam o mesmo número de subdivisões. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

só por diversão vamos tentar fazer uma aproximação da área abaixo da curva formada por y igual a raiz quadrada de x - um lindo de x igual a um até x igual a 6 o que eu quero aqui encontrar toda essa área ou pelo menos uma boa aproximação dela ea forma que eu vou fazer aqui é criando cinco trapézio de mesma largura e se daqui vai ser o limite à esquerda do primeiro trapézio e este é outro ponto que vai ser o limite da direita que também vai ser o limite à esquerda do 2º trapézio esse aqui vai ser o limite da direita do 2º trapézio esse é o limite da direita do terceiro trapézio e se de que o limite à direita do quarto trapézio e finalmente esse daqui mas seu limite da direita do 5º trapézio como nós vamos observar o intervalo aqui indo de 1 até seis nós vamos dividir isso em cinco partes iguais nessa forma largura de cada um desses trapézios vai ser igual a 1 mas só pra pensar um pouco a respeito disso vamos dizer que a largura de cada um desses trapézio e seja igual a delta x já de cara observando o gráfico gente sabe que o delta x vai ser igual a um ok vamos observar todos os trapézios e vamos começar aqui pelo primeiro a gente pode traçar um triângulo aqui isso não vai ser exatamente um trapézio tudo bem aqui nós temos o segundo trapézio que vai aparecer com isso o terceiro trapézio será dessa forma o quarto trapézio vai se parecer com isso aqui e por fim o trapézio também vai ter essa forma e nós vamos calcular a área de cada um deles assim nós vamos ter uma boa aproximação da área abaixo da curva então vamos lá vamos fazer estratégias que nesse primeiro caso um triângulo certo assim qual vai ser a área desse primeiro trapézio para determinar de um trapézio que nesse primeiro caso você vai ver se transformar na área de um triângulo vai ser a média das alturas dos dois lados do trapézio que nós podemos dizer que a média das alturas dos lados paralelos eu acho que sou até um pouco melhor então nesse primeiro caso a gente vai te f de um mais f2 tudo isso sobre dois assim a gente consegue encontrar a média dessas duas alturas e como nós queremos saber a área babá a multiplicar isso pelo nosso delta x nesse primeiro triunfo como você pode observar efe de um é igual a zero assim a gente vai ter apenas efe de duas vezes delta x sobre dois e isso é a área de um triângulo vamos para o segundo troféu agora qual vai ser a área desse segundo trapézio e nós podemos fazer a mesma coisa nós vamos ter aqui f2 mais f de 3 fd 2 é essa altura que heath de 3 essa outra altura e aí a gente vai pegar a média dessas duas alturas como dividido por dois essa aqui é a média das duas alturas e para determinar a área basta multiplicar pela base que nesse caso é delta x ou seja é 22 mas efe de 3 sobre 2 vezes delta x vamos partir agora para o terceiro trapézio eu acho que você já começou a pegar a idéia não é a área do trapézio 3 será igual à efe de três mais f de 4 / 2 vezes delta x acho que já comecei a ficar sem cura que estou usando todas as cores nesse exemplo vamos para o quarto trapézio agora a gente vai te f de 4 mas efe de 5 / 2 vezes delta x e agora vamos para o último trapézio que a gente vai fazer aqui com uma cor amarela o trapézio número 5 show de ser um pouco aqui para ter mais espaço a gente vai ter aqui deixa escrever aqui é fim de cinco mais f de 6 sobre 2 vezes delta x agora a gente já tem uma aproximação da área que a soma da área de cada um deles estratégias cromadas e uma aproximação da área de cada um desses trapézios vamos tentar simplificar um pouco mais isso aqui embaixo nós estamos em todos esses termos é delta x / 2 certo então vamos colocar isso aqui pra fora não se esqueça como eu já falei isso aí é uma aproximação da área tá bom então a gente tem que ler isso aqui como uma aproximação grosseira e nós podemos até dizer que é uma boa aproximação porque nós estamos usando estratégias mas para ficar claro nós estamos deixando um pouco da área de fora essa área que nós deixamos de fora vamos esquecer um pouco disso aqui mal se vê tudo está bom isso parece até ser subestimado mas é uma aproximação de senti voltando aqui vamos ver como nós podemos simples ficar essa expressão isso aqui então a área vai ser aproximadamente igual ou colocará em evidência e se delta x sobre dois então que me resta vai ser todo o restante eu vou colocar com uma cor neutra que aqui no primeiro termo a gente vai te f de um agora como a gente já colocou delta x sobre dois é que em evidência a gente pode somar sf2 com ecf de 2 assim a gente vai ter duas vezes f2 e você pode até ver que essa fórmula que aparece em seu livro de cálculo não é nada misterioso nos livros aparece apenas somando a área de estratégias aqui nós vamos ter dois f de 3 já que temos é fim de três mais f de três aqui também 2f de 4 já que nós vamos ter f4 mais f de 4 ac também a mesma coisa 2f de 5 duas vezes efe de 5 e finalmente aqui um f-16 já que só aparece o f-16 uma vez aqui generalizando isso a gente vai ter aqui o primeiro ponto extremo a função calculada na extremidade e no último extremo também e no restante nós vamos ter sempre 12 vezes a função em cada um desses pontos isso é que é a área de estratégia e eu não gosto muito quando os livros apenas escrevem isso porque lendo isso que é muito difícil de visualizar se trata de trapézios e aí quando você vê dessa forma que tudo fica muito mais claro ok mas esqueceu isso vamos calcular pra nossa sorte isso tudo é muito simples a gente já falou que o delta x é igual a 1 não é aí só vai restar calcular tudo isso aqui vamos nos lembrar quanto que vale é que o iof de 1 da função original nossa função original era a raiz quadrada de x - 1 assim fdx sendo igual a 1 vai ser igual à efe da raiz quadrada de 1 - 1 logo isso vai ser igual a zero essa outra parte que vai ser duas vezes a raiz quadrada de 2 - 1 ea raiz quadrada de 2 - 1 é um assim a gente vai ter algo sem igual a dois indo agora para f de três nós vamos ter duas vezes a raiz quadrada de 3 - 1 ea raiz quadrada de 3 - um é igual a raiz quadrada de dois então isso aqui vai ficar igual a duas vezes a raiz quadrada de 2 agora calculando a função em x igual a quatro nós temos 2 vezes a raiz quadrada de 4 - 3 que é igual a 3 então isso vai ser igual a duas vezes a raiz quadrada de 3 fazendo o mesmo cálculo agora para x igual a 5 nós temos duas vezes a raiz quadrada de 5 - 1 a raiz quadrada de cinco - um é igual a raiz quadrada de 4 ea raiz quadrada de 4 é igual a 2 então vamos ter duas vezes 2 que é igual a quatro e por último basta calcular a função em x igual a 6 assim a gente vai ter a raiz quadrada de 6 -1 que é igual a raiz quadrada de 5 agora eu acho que estamos prontos para calcular tudo isso aqui tá então vamos pegar a calculadora como nós temos aqui um sobre dois multiplicando tudo isso vamos colocar um sobre 2 vezes abre parênteses bem 0 eu vou escrever isso aqui pra gente conseguir visualizar tudo tá 0 + 21 + duas vezes a raiz quadrada de 2 mais duas vezes a raiz quadrada de 3 gente já está quase terminando mais quatro mas a raiz quadrada de 5 isso aki vai ser igual a 7,26 então uma aproximação da informado abaixo da curva y igual a raiz quadrada de x - 1 e indo de x igual até x igual a 6 vai ser igual a 7,26 e nós fizemos isso utilizamos trapézios