If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Notação de somatório

Podemos descrever somas com múltiplos termos usando o operador sigma, Σ. Aprenda como calcular somas escritas dessa forma.
A notação de somatório (ou notação sigma) nos permite escrever uma soma longa em uma única expressão.

Desvendando o significado da notação de somatório

Este é o símbolo sigma: sum. Ele nos diz que nós estamos somando algo.
Vamos começar com um exemplo básico:
Parar em n=3(inclusive)n=132n1Expressa˜o para cadaComeça em n=1termo do somatoˊrio\begin{aligned} \scriptsize\text{Parar em }n=3& \\ \scriptsize\text{(inclusive)} \\ \searrow\qquad& \\\\ \LARGE\displaystyle\sum_{n=1}^3&\LARGE 2n-1 \\ &\qquad\quad\nwarrow \\ \nearrow\qquad&\qquad\scriptsize\text{Expressão para cada} \\ \scriptsize\text{Começa em }n=1&\qquad\scriptsize\text{termo do somatório} \end{aligned}
Este é um somatório da expressão 2, n, minus, 1 para valores inteiros de n de 1 a 3:
=n=132n1=[2(1)1]n=1+[2(2)1]n=2+[2(3)1]n=3=1+3+5=9\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 2\goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{[2(\goldD 1)-1]}_{\goldD{n=1}}+\underbrace{[2(\goldD 2)-1]}_{\goldD{n=2}}+\underbrace{[2(\goldD 3)-1]}_{\goldD{n=3}} \\\\ &=1+3+5 \\\\ &=9 \end{aligned}
Observe como substituímos start color #e07d10, n, equals, 1, end color #e07d10, start color #e07d10, n, equals, 2, end color #e07d10 e start color #e07d10, n, equals, 3, end color #e07d10 em 2, start color #e07d10, n, end color #e07d10, minus, 1 e somamos os termos resultantes.
n é nosso índice do somatório. Quando avaliamos uma expressão de somatório, substituímos valores diferentes no nosso índice.
Problema 1
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, n, squared, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

Podemos começar e terminar a soma em qualquer valor de n. Por exemplo, esta soma toma valores inteiros de n desde 4 a 6:
=n=46n1=(41)n=4+(51)n=5+(61)n=6=3+4+5=12\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=4}^6 \goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{(\goldD 4-1)}_{\goldD{n=4}}+\underbrace{(\goldD 5-1)}_{\goldD{n=5}}+\underbrace{(\goldD 6-1)}_{\goldD{n=6}} \\\\ &=3+4+5 \\\\ &=12 \end{aligned}
Podemos usar qualquer letra que quisermos para nosso índice. Por exemplo, esta expressão tem i como índice:
=i=023i5=[3(0) ⁣ ⁣5]i=0+[3(1) ⁣ ⁣5]i=1+[3(2) ⁣ ⁣5]i=2=5+(2)+1=6\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD i=0}^2 3\goldD i-5 \\\\ &=\underbrace{[3(\goldD 0)\!-\!5]}_{\goldD{i=0}}+\underbrace{[3(\goldD 1)\!-\!5]}_{\goldD{i=1}}+\underbrace{[3(\goldD 2)\!-\!5]}_{\goldD{i=2}} \\\\ &=-5+(-2)+1 \\\\ &=-6 \end{aligned}
Problema 2
sum, start subscript, k, equals, 3, end subscript, start superscript, 5, end superscript, k, left parenthesis, k, plus, 1, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Considere a soma 4, plus, 25, plus, 64, plus, 121.
Qual expressão é igual à soma acima?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Algumas expressões de somatório tem outras variáveis além do índice. Considere esta soma:
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, start fraction, k, divided by, n, plus, 1, end fraction.
Observe que nosso índice é n, não k. Isto significa que podemos substituir os valores em n, e k permanece desconhecido:
=n=13kn+1=k(1)+1+k(2)+1+k(3)+1=k2+k3+k4\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 \dfrac{k}{\goldD n+1} \\\\ &= \dfrac{k}{(\goldD 1)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 2)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 3)+1} \\\\ &= \dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{3} + \dfrac{k}{4} \end{aligned}
O que é importante lembrar: antes de avaliar uma soma na notação de somatório, sempre tenha certeza de que você identificou o índice e que está substituindo apenas o índice. Outras incógnitas devem permanecer como são.
Problema 4
sum, start subscript, m, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, 8, k, minus, 6, m, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.