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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 16: Substituição trigonométrica- Introdução à substituição trigonométrica
- Substituição com x=sen(theta)
- Mais prática de substituição trigonométrica
- Substituição trigonométrica e integração por substituição juntas (parte 1)
- Substituição trigonométrica e integração por substituição juntas (parte 2)
- Substituição trigonométrica com tangente
- Mais substituição trigonométrica com tangente
- Problema de substituição trigonométrica longa
- Substituição trigonométrica
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Substituição com x=sen(theta)
Quando você está integrando algo que contém a expressão (1-x^2), tente substituir x por sen(theta). Versão original criada por Sal Khan.
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- Minha nossa, esse assunto é muito chato; peguei nada. Mas enfim, depois eu vejo de novo com calma. Só gostaria de saber uma coisa... por que o x é igual a seno?(3 votos)
- Se voce ver como um triangulo reto, ele teria a hipotenusa valendo 2 raiz de 2, e um cateto valendo x raiz de2, se usar o seno, ficaria sen(theta)=x raiz de 2/2 raiz de 2, o raiz de 2 cortaria e ficaria sen = x/2, x=2sen(theta)(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA1JV - Vejamos se podemos calcular essa
integral indefinida bem aqui. E a dica de que uma
substituição trigonométrica pode ser adequada é o que vemos bem aqui, no denominador sobre o radical. Em geral, se vemos algo
na forma de a² - x², geralmente é uma boa ideia. Nem sempre, mas geralmente é uma boa ideia substituir "x" por "a" vezes seno de θ. Porque fazendo isso,
se torna a² - a²seno²θ. Se você fatorar a², você obtém uma das
identidades trigonométricas mais elementares. Isso aqui é cosseno²θ. Talvez simplifique a expressão. Você pode dizer que isso é 8 menos 2x², não é tão óbvio que temos a² menos x², mas podemos simplificar isso, ou escrever de modo
que pareça esse padrão. Você pode escrever de 8 menos 2, você pode escrever 8 menos 2x². Como se fatorarmos um 2
como 2 vezes 4 menos x². Isso claramente tem
um padrão do tipo a² - x². Pode escrever isso como 2 vezes 2² - x². Nesse caso, "a" será igual a 2. Vamos fazer essa substituição. Vamos substituir o "x", "x" vai ser igual a 2 senθ dx. e "dx" vai ser igual a 2 cosθ dθ. O vai ser essa parte sob a expressão? Já começamos a simplificá-la bem aqui, vai se tornar 2 vezes 2² - x², "x" vale 2 senθ. Então x² vai ser 2² vezes sen²θ. E agora podemos fatorar o 2², isso vai ser 2 vezes 2²
vezes 1, menos sen²θ. 2 vezes 2², isso dá 8,
vezes o cos²θ. É o que temos sobre o radical. Vamos continuar, vamos
reescrever isso bem aqui. Teremos, eu irei tirar o "π"
para fora da integral. Teremos "π" vezes dx. "dx" é 2 vezes o cosθ dθ. Isso vai ser, vou deixar isso mais claro. Quero fazer de azul, "dx" bem aqui é
2 vezes cosθ dθ, agora vou escrever o dθ aqui. Aqui no denominador, irei tratar
a raiz quadrada disso aqui. A raiz quadrada de 8 vezes cos²θ. A raiz quadrada disso vai ser
2 vezes a raiz de 2, a raiz de 8 vale 2 vezes a raiz de 2, vou escrever isso aqui. Esclarecendo o que eu estou fazendo. Isso vai ser a raiz quadrada daquilo, que vale 2 vezes a raiz de 2,
isso é a raiz quadrada de 8. A raiz quadrada de cos²θ
vai ser igual a cosθ. Se eu tomo a raiz quadrada
de algo ao quadrado, então, isso não seria o valor
absoluto do cosseno de θ. Para nos livrarmos do valor absoluto, irei assumir que cosθ é positivo. Mas podemos fazer a suposição
de que o cosseno de θ é positivo. Porque se, olharmos bem aqui nessa
parte da nossa substituição, se quisermos resolver para θ, dividimos ambos os lados por 2. E teremos "x" sobre 2
é igual ao seno de θ. Ou podemos dizer que θ
é igual ao arco seno de "x" sobre 2. A função do arco seno,
como é tradicionalmente definida, irá retornar um θ
que está entre -π/2 e π/2. Naquela faixa, o cosseno de θ
vai sempre ser positivo. Não precisamos escrever o valor absoluto, sabemos que o cosseno de θ é positivo. Podemos começar a simplificar cosseno de θ cancela
com cosseno de θ este 2 cancela com este 2, e podemos tirar a raiz quadrada de 2 e sobra "π" sobre a raiz
quadrada de 2 vezes a integral indefinida de dθ. Isso vai ser "π" sobre a raiz quadrada
de 2 vezes θ mais "c". E quase terminamos, agora só temos que reescrever
isso em termos de "x". E sabemos que θ é igual
ao arco seno de "x" sobre 2. Então pode-se dizer que esta integral
indefinida ou primitiva dessa expressão vai ser "π" sobre a raiz quadrada de 2 vezes o arco seno de "x"
sobre 2, mais "c". E terminamos. Alguns não gostam de uma
raiz quadrada no denominador. Se você quiser removê-la, basta multiplicar isso
pela raiz raiz quadrada de 2 sobre a raiz quadrada de 2,
que dá para simplificar. Mas por ora, irei deixar no denominador
na forma irracional. Isso bem aqui é a nossa forma primitiva.