Mais prática de substituição trigonométrica

RKA7MP - Digamos que eu tenha a integral indefinida de 1 sobre a √3 menos 2x². Claro que eu tenho um dx aqui. Quando eu olho tal integral, não vejo nenhum método tradicional óbvio de integração. Eu não tenho a derivada desta parte em nenhum lugar da integral. Logo, eu não posso usar o método da substituição. Mas o que eu posso fazer é dizer que isto se parece muito com algumas identidades trigonométricas familiares. Talvez eu possa substituir por funções trigonométricas. Vamos tentar encontrar alguma identidade trigonométrica semelhante a isto. Na identidade trigonométrica mais básica, esta vem na definição do círculo unitário, é seno elevado ao quadrado de θ (teta). mais o cosseno elevado ao quadrado de θ, que é igual a 1. Se eu subtrair o cosseno elevado ao quadrado de θ de ambos os lados, ou se subtrairmos o seno ao quadrado de θ de ambos os lados, nós também podemos obter o cosseno elevado ao quadrado de θ igual a 1, menos o seno elevado ao quadrado de θ. Podemos fazer de qualquer maneira. De repente, isto começa a se parecer um pouco com isto. Talvez eu possa fazer algumas manipulações algébricas para fazer com que isto se pareça com isto. Eu gostaria de ter 1, e é assim que o meu cérebro funciona. Vamos fatorar o 1, 3 fora deste denominador. Então, isto é a mesma coisa que a integral de 1 sobre a raiz quadrada, deixe-me fatorar o 3 fora desta expressão, √3 vezes (1 menos 2, sobre 3x²). Eu não fiz nada extravagante aqui, apenas fatorei o 3 para fora da expressão, isto foi tudo o que eu fiz. Mas o mais interessante agora é que esta expressão se parece muito com aquela expressão. De fato, se eu substituir, se eu disser que isto aqui, que este 2 sobre 3x², se eu fizer isto igual ao cosseno ao quadrado de θ, eu posso usar esta identidade. Vamos fazer isso. Vamos dizer que 2 sobre 3x² é igual ao seno elevado ao quadrado de θ. Se retirarmos a raiz de ambos os lados desta equação, obteremos √2 sobre a √3, vezes "x", é igual ao seno de θ. Se eu resolver "x", o que eu obtenho? Tenho que resolver tanto para "x" como para θ. Vamos resolver em ambas as formas, começaremos por θ. Se resolvemos para θ, obteremos θ igual ao arco seno, ou o inverso do seno, da √2 sobre a √3x. Este é o resultado para θ. Para resolver "x", basta apenas multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso disto, e chegaremos a "x" igual a, dividimos ambos os lados da equação por isto ou multiplicamos pelo inverso, é a √3 sobre a √2, vezes o seno de θ. E nós vamos substituir isto por seno elevado ao quadrado de θ. Mas nós não podemos deixar o dx fora, pois nós temos uma integral com dθ. Qual é a relação entre dx e dθ? A derivada de "x" com o respectivo θ é igual a √3 sobre √2. A derivada disto em relação a θ é o cosseno de θ. E se nós quisermos escrever isto em termos de "x", nós podemos apenas escrever que dx é igual a √3 sobre a √2, vezes o cosseno de θ.dθ. Agora, podemos fazer a substituição. Podemos reescrever esta expressão. Eu farei isto com uma cor vermelha. Deixe-me utilizar a cor azul. Agora, podemos reescrever esta expressão. A integral definida de dx está no numerador, correto? Ao invés de escrever 1 vezes dx, eu posso apenas escrever dx. Este pode ser um dx, assim como aquele. Estamos apenas multiplicando por dx. Mas o que é dx? dx é isto aqui, e eu farei em amarelo. dx está bem aqui. É a √3 sobre a √2, vezes o cosseno de θ.dθ. Isto que é o dx. Eu tenho a √3 vezes, agora é um menos, e eu digo que 2 sobre 3x² é igual ao seno ao quadrado de θ. 1 menos seno ao quadrado de θ, como eu posso simplificar isto? O que é 1 menos seno ao quadrado de θ? É o cosseno ao quadrado de θ. Então, esta coisa aqui é o cosseno ao quadrado de θ. Minha integral indefinida torna-se √3 sobre a √2, vezes o cosseno de θ.dθ. Tudo isto sobre a √3 vezes o cosseno ao quadrado de θ, que se torna cosseno ao quadrado de θ. Vamos pegar a raiz quadrada desta parte de baixo, e isto torna-se igual a, eu farei isto mudando as cores. √3 sobre a √2, vezes cosseno de θ.dθ. O que é a raiz quadrada disto? É igual a √3 vezes a raiz quadrada do cosseno ao quadrado, vezes o cosseno de θ. Isto simplifica bastante as coisas. Eu tenho o cosseno de θ dividido pelo cosseno de θ. Eles se cancelam e obtemos 1. Então, eu tenho a √3 sobre a √3. Estes dois caras se cancelam, e a integral pode ser simplificada a 1 sobre √2.dθ. Ou melhor, eu posso escrever isto. Isto é uma constante. Eu posso colocar isto fora da integral, 1 sobre a √2, vezes a integral em dθ. E isto é muito fácil. E isto é igual a 1 sobre a √2, que multiplica θ, mais "c", mais uma constante. A integral disto é θ mais "c". E você pode multiplicar a constante por isto. Mas ainda é uma constante arbitrária. Imagino que você saiba calcular esta antiderivada. Mas nós terminamos? Ainda não. Nós queremos saber a integral indefinida em termos de "x". Agora, temos que fazer a substituição. O que é θ? Como podemos ver, θ é igual ao arco seno da √2 sobre a √3x. Então, a integral indefinida original, que era tudo isto, agora, eu posso fazer a substituição reversa para θ, ou colocar o "x" ali, que é 1 sobre a √2 vezes θ, θ é apenas isto, é apenas o arco seno da √2 sobre a √3x. E, então, eu tenho esta constante, mais "c". Aqui está a antiderivada de 1 sobre √3 menos 2x². Espero que isto tenha sido útil. Eu farei mais vídeos para aprofundar um pouco mais nestes exemplos e você irá se familiarizar com eles.