Problema de substituição trigonométrica longa

RKA3JV - Digamos que nós temos a integral indefinida da √6x - x² - 5. Obviamente, esta não é uma integral simples. Eu não tenho a expressão e sua derivada de bobeira por aqui. Então, a substituição não se aplica. E a julgar pelo título do vídeo, dá para imaginar que nós faremos algo sofisticado aqui, provavelmente, faremos algum tipo de substituição trigonométrica. Mas, isso não parece ser aplicável a uma substituição trigonométrica. Eu gosto de fazer substituição trigonométrica quando eu vejo 1 - x² sobre um radical, ou x² - 1 sobre um radical, ou talvez x² + 1. Este é o tipo de coisa que me faz pensar em termos de substituição trigonométrica, mas esta não se parece com alguma delas ainda. Eu tenho um radical, eu tenho um x², mas não apresenta desta forma. Vejamos se nós conseguimos passar para esta forma. Então, vamos apagar rapidamente isto aqui. Então, vamos ver se nós conseguimos completar o quadrado bem aqui. Bom, deixe-me reescrever isso. E caso completando o quadrado não lhe pareça familiar, temos vários vídeos a respeito deste assunto aqui no portal. E eu vou reescrever isso como -5 menos, deixe-me esticar um pouco isto daqui. - 5 - x². Aqui, tem 1 + 6, mas eu tenho -1 aqui, então fica -6x. Menos com menos fica +6. Se eu quero transformar isso em um quadrado perfeito, então qual é o número que quando eu adiciono a si mesmo é -6? Este número é o -3. Então, -3² = 9. Vamos escrever aqui. Na verdade, eu não adicionei 9. Eu estou subtraindo, porque temos um sinal de menos ali. Só que eu não posso simplesmente colocar este 9 aqui, eu preciso neutralizá-lo, porque ele não existia no começo. Então, ali, em seguida do -5 eu vou escrever +9. Ainda temos que acionar de o "dx" aqui. Mas se o que eu acabo de fazer não faz sentido para você, então, multiplique isso -x² + 6x + 9. E se você somar com este -9, ele se cancela. E você verá que nós temos a equação da qual partimos. Note, então, que eu não mudei a equação. E o que nós temos como resultado é que, agora, nós escrevemos isso em uma forma mais fácil de trabalhar, da qual a gente gosta. Então, -5 + 9 = 4. Este termo aqui vai ser igual a (x - 3)². Então, agora a nossa integral indefinida se torna uma integral. Então, vamos escrever aqui integral de √4 - (x - 3)² dx. Isto já está tomando a forma que a gente quer, mas ainda falta o 1 aqui. Então, vamos fatorar e tirar o 4 daqui. Deixe-me mudar a cor aqui. Isto é igual à integral da raiz quadrada de 4 vezes 1 - (x - 3)² / 4. Veja que é a mesma coisa, se você multiplicar o 4 por estes termos, você volta para a expressão antiga. Bom, isso aqui já está em uma forma legal, que a gente gosta, mas podemos simplificar ainda mais. Vamos extrair a raiz. Então, ficaria a integral de √4 = 2. 2 vezes a raiz quadrada de 1 menos, Podemos escrever desta forma: "x - 3" sobre 2, ao quadrado, dx. De onde vem este 2? Bom, "(x - 3)/2" ao quadrado é a mesma coisa que (x - 3)² / 4. Note que eu não estou fazendo nenhum cálculo, só estou reescrevendo as coisas. Estamos reescrevendo expressões equivalentes à nossa expressão original. Então, agora chegamos em uma forma que a gente já reconhece. Nós vimos no último vídeo que cos²θ é igual a 1 - sen²θ. Se você quiser, você pode até escrever isso aqui de outra maneira. Mas, saiba que de ambas as formas vai funcionar. Mas isso aqui se parece muito com isso. Na verdade, seriam a mesma coisa se eu dissesse que isso aqui é igual a sen²θ. Então, vamos fazer essa substituição. Vamos reescrever aqui. ((x - 3)/2)² vai ser igual a sen²θ. Agora, eu posso tirar a raiz quadrada em ambos os lados. E terei (x - 3)/2 = senθ. Bom, você sabe onde estamos querendo chegar, eventualmente, temos que substituir por θ. Então, vamos resolver para θ em termos de "x". Para resolver θ em termos de "x", temos que pegar o arcsen de ambos os lados. Então, nós temos que θ é igual a arcsen de ((x - 3)/2). Mas para realizar essa substituição, temos que descobrir o que é "dx". Resolver para "x" em termos de θ. Então, vamos fazer isso. Se nós multiplicarmos por 2 em ambos os lados, nós teremos x - 3 = 2senθ. E eu posso reescrever isso como x = 2senθ + 3. E se tirarmos a derivada em relação ao θ, teremos dx/dθ = 2 cosθ. A derivada disso daqui é zero, ou então, poderíamos multiplicar ambos os lados por dθ. Então, ficaria de dx = 2 cosθ vezes dθ. Então, agora, estamos prontos para reescrever isso na nossa integral indefinida. Então, agora, nós podemos reescrever isso aqui como a integral de 2 vezes a raiz quadrada de 1, menos, agora, eu posso substituir isso por sen²θ vezes "dx". Como nós vimos, "dx" agora pode ser escrito desta forma: 2cosθ dθ. Então, vamos continuar. Esta expressão, bem aqui, pode ser reescrita como cos²θ. Então, acabamos aqui como a raiz quadrada de cos²θ. Então, todo este termo aqui vai ser igual a √cos²θ, que é a mesma coisa que cosθ. Então, agora podemos reescrever a nossa integral. Ela vai ser igual à integral de 2 vezes, vimos que isto aqui é a mesma coisa que cosθ vezes 2 cosθ. Então, nós sabemos que isso aqui é isto aqui, e todo este termo aqui vai ser igual a isso aqui. Tudo isso vezes "dθ". E tudo isso vai ser igual à integral de 4 cosθ vezes dθ. O que por si só não é uma integral de fácil solução. E eu não posso fazer substituição ou algo do gênero ali. Então, o que nós faremos? Bem, nós podemos consultar as boas e velhas identidades trigonométricas. Agora, eu não sei se você memorizou isso, embora isto esteja na maioria dos livros de Cálculo e incluso, também, na maioria dos livros de trigonometria. Mas, cos²θ pode ser reescrito como 1/2 vezes 1 + cos 2θ. Eu já demonstrei isso aqui em vários outros vídeos. Então, agora nós só temos que substituir esta coisa aqui, por esta coisa aqui. Então, esta integral vai ficar desta forma. Então, isso vai ser igual a 4cos²θ, que nós já vimos é isso aqui. Então, vezes 1/2, vezes (1 + cos 2θ) dθ. Bom, e agora está muito mais fácil de lidar com isso. 4 vezes 1/2 = 2. Então, a nossa integral se tornou a integral de 2 + 2cos 2θ. Tudo isso, por dθ. Bom isto aqui é bem simples. O que é isso aqui? Essa aqui é a derivada em relação a sen2θ. Qual é a derivada de sen2θ ? Pega a derivada de dentro que é 2, e a derivada de fora que é cos2θ. Isto é, obviamente, a derivada de 2θ. Isto é igual a antiderivada de 2 em relação θ. E isso, então, é igual a 2θ mais a antiderivada disto aqui, que é igual a sen2θ. Então, temos tudo isso daqui mais "C". Não podemos esquecer que nós definimos θ. Nossa antiderivada original era em termos de "x". Então, não podemos deixar em termos de θ, temos que desfazer essa substituição. Relembrando, θ = arccos (x - 3)/2. Então, vamos reescrever aqui que θ = arccos (x - 3)/2 Se eu substituísse θ diretamente aqui, eu teria sen 2 vezes arccos (x - 3)/2. O que é correto! Eu teria 2 vezes o arccos (x - 3)/2. Estaria tudo bem, estaríamos prontos. Mas isso não é satisfatório e nem mesmo é uma resposta clara. Veja que nós podemos simplificar isso aqui para deixarmos tudo em termos de senθ. Quando você calcula o seno do arco seno, isso simplifica para (x - 3)/2. Deixe-me esclarecer isso. Vou escrever aqui para ficar mais claro. Então, podemos escrever tudo isso em função de senθ. Então, senθ vai ser igual ao seno do arcsen (x - 3)/2 e que é a mesma coisa que (x - 3)/2. Então, eu posso fazer isso, escrever isso em termos de senθ. Então, eu sei que senθ é igual a isso aqui. Isso vai simplificar muitas coisas. Ainda temos outra identidade trigonométrica que eu já provei em alguns vídeos, que é sen 2θ = sen (θ + θ) E nós podemos reescrever isso como senθ vezes cosθ + senθ + cosθ. E isso, por sua vez, pode ser reescrito como 2senθcosθ. Algumas pessoas memorizam isso. Se você tem um exame, não faria mal ter isto na memória. Mas vamos reescrever isso desta forma. Então, nossa integral indefinida em termos de θ, ou a nossa antiderivada é 2θ + 2senθ cosθ + C. Agora, eu vou escrever tudo em termos de senθ. E nós temos um cosθ aqui. Bom, e nós sabemos que cos²θ = 1 - sen²θ ou, então, que o cosθ é a mesma coisa que √1 - sen²θ. A princípio parece que estamos deixando tudo complexo, mas, na verdade, é o contrário, porque vamos deixar tudo em termos de senθ. Então, a nossa antiderivada será a mesma coisa que 2θ + 2senθ. E aqui, o cosθ é a mesma coisa que √1- sen²θ. E, claro, mais "C". Agora estamos chegando na reta final. Este problema foi mais difícil do que você esperava. Sabemos que senθ = (x - 3)/2. Então, deixe-me fazer a substituição reversa. Nós temos aqui 2θ. Este primeiro termo é, simplesmente, 2 vezes θ. Então, temos 2 vezes, a gente não pode escapar do arco seno. Se temos somente θ, temos que dizer que θ é igual ao arcsen (x - 3)/2. Então, nós temos mais 2 vezes senθ. E senθ = (x - 3)/2. Então, 2 vezes (x - 3)/2. E tudo isso vezes √1 - sen²θ. E o que é senθ? Bom, senθ é (x - 3 / 2)². Tudo isso, mais "C". Então, vamos ver se a gente consegue simplificar isso um pouco mais. Agora, estamos na reta final. Então, isto aqui é igual a 2 arcsen (x - 3)/2 mais, estes dois termos podem se cancelar. Então, mais (x - 3) vezes √1 - (x - 3 / 4). Na verdade, (x - 3)² / 4. Vamos ver se conseguimos simplificar isso um pouco mais. Vamos focar neste termo bem aqui. Se nós multiplicarmos aqui fora, bom, vamos dizer que vamos multiplicar e dividir por 2. Então, eu vou escrever aqui o que eu acabei de dizer. Vamos multiplicar isso por 2 / 2. Você pode estar se perguntando: por que eu estou fazendo isso? Bom, isso vai me ajudar a reescrever tudo isso aqui. Vamos lá! 2 arcsen (x - 3) / 2. Eu acho que eu posso colocar este denominador bem aqui. Mais (x + 3) / 2. Este 2 é este 2 aqui. E eu posso escrever este 2 bem aqui como sendo √4 vezes a raiz quadrada de tudo isto aqui. Então, 1 - (x - 3 / 4)² Então, vai ficar 2 arcsen ((x - 3) / 2) + ((x - 3) / 2). E esta √4, a gente vai colocar aqui dentro. Então, vai ficar desta forma, √4 - (x - 3)² + C. Estamos na reta final, então, isto aqui é igual 2 arcsen ((x - 3) / 2) + ((x - 3) / 2) vezes √4 - (x² - 6x + 9). Também podemos simplificar esta expressão aqui por menos com menos. Então, temos mais 6x. Menos com mais, -x². Menos com mais, -9 + 4 - 5, que é a nossa expressão original. Estamos bem na reta final. Então, tudo isto vai ser igual a 2 arcsen ((x - 3) / 2) + ((x - 3) / 2) vezes √6x - x² - 5. E isto daqui você é igual a antiderivada, deixe-me dar uma olhada aqui em cima. Então, isso é igual a antiderivada da √6x - x² - 5 dx. Imagine que você está tão cansado quanto eu, minha mão está até doendo. Eu espero que você tem achado pelo menos satisfatória. Às vezes eu recebo reclamações que eu só resolvo problemas fáceis. Bem, este não era tão fácil!