Introdução à substituição trigonométrica

RKA4JL - Digamos que queremos avaliar essa integral indefinida bem aqui e você imediatamente percebe que temos a raiz quadrada de (4 menos x²) no denominador. Poderíamos tentar utilizar a substituição, mas ela realmente não simplificaria isto em qualquer caminho razoável. Então como podemos lidar com isso? Esta coisa aqui, esta raiz quadrada de (4 menos x²), se parece com algo que eu poderia resolver para os catetos no teorema de Pitágoras, especialmente se o comprimento da hipotenusa for 2, pois esse seria 2². Então o outro lado é x e em seguida, 2² menos x² seria o comprimento do outro lado. Vamos desenhar isso. Digamos que temos esse triângulo retângulo aqui. Se a hipotenusa de um triângulo retângulo é de comprimento 2, então este lado direito até aqui é de comprimento x. Se a hipotenusa é igual a 2 e este lado é igual a x, logo este lado aqui podemos escrever como a raiz quadrada da hipotenusa ao quadrado, que seria 2², que é igual a 4, menos esse lado aqui ao quadrado, então x². Isto é interessante: esta é a expressão que tínhamos sacado. Esta é a intuição que nós tivemos quando vimos isso aqui. Mas ainda assim, como é que isso nos ajuda? Esse é o lugar onde a trigonometria entra, porque se nós definimos este ângulo bem aqui como θ [teta], então o que é que sendo e cosseno de θ vão ser em relação a esses lados? Vamos ver, se seno de θ é igual ao oposto sobre a hipotenusa, senθ é igual a x sobre 2. Ou se quisermos resolver isto para x, temos então que x é igual a 2 senθ. Isso é interessante. Continuando agora para o cosseno de θ, temos que cosseno de θ é igual ao lado adjacente sobre hipotenusa. Temos, então, que o cosθ é igual ao lado adjacente, que é igual à raiz quadrada de (4 menos x²), dividido pela hipotenusa, que é igual a 2. E se quisermos apenas facilitar um pouco as coisas, teremos que a raiz quadrada de (4 menos x²) é igual a 2 cosθ. Se x é igual a 2 senθ, este outro lado, e em seguida, toda esta expressão, simplificada 2 cosθ, parece bastante interessante agora. Então vamos fazer a substituição. Vamos dizer que x é igual a 2 senθ, e se x é igual a 2 senθ, então dx vai ser igual a 2 cosθ dθ. Logo, se nós temos x igual a 2 senθ, então o que é esta coisa bem aqui? Nós apenas descobrimos que esta coisa aqui é 2 cosθ. Então isto aqui é igual a 2 cosθ. Nós somos capazes de fazer isto apenas desenhando esse triângulo retângulo e usando a definição dessas funções trigonométricas. Agora vamos seguir e ver se podemos avaliar esta expressão usando essa substituição. Portanto, esta vai ser a integral indefinida. Então 1 vez dx... dx é igual a 2 cosθ dθ, então teremos 2 cosθ vezes dθ dividido por raiz quadrada de (4 menos x²) e isto é igual a 2 cosθ. Então aqui são 2 cosθ. Isto parece bem simples agora. 2 cosθ dividido por 2 cosθ será igual a 1. Isso simplifica muito as coisas. Então agora teremos dθ que é, se você acabou de avaliar isso, isso vai ser igual a θ mais C. Isso é uma boa condição, mas nós ainda não teríamos terminado. Queremos ainda a nossa integral indefinida em termos de x. Então, agora, vamos resolver para x. Se x é igual a 2 senθ, então vamos ver, dividindo ambos para os 2 lados, teremos que x sobre 2 é igual a senθ. Então, se você quiser resolver para θ, o ângulo de θ, se tomar o seno dele, você terá x sobre 2. Então podemos dizer que para θ é igual ao inverso do seno, o inverso do seno desta coisa aqui, x sobre 2. Nós poderíamos escrever desta forma, ou poderíamos escrever que θ é igual ao arco seno. Logo isso vai ser θ igual ao arco seno de (x sobre 2). Arco seno de (x sobre 2) mais C. Nós concluímos. Somente calculamos essa integral indefinida. Agora alguns de vocês podem ter notado alguma coisa. Eu meio que passei por isto muito rápido, então vamos ter certeza de que a nossa substituição não fez nada de estranho com isso. Portanto, se x tem que estar entre -2 e 2 e nós estamos dizendo que x é 2 senθ, isso significa que 2 senθ teria que estar entre -2 e 2. Então -2 é menor que 2 senθ, que é menor que senθ, que é menor que 2. Agora podemos apenas dividir todas as partes diferentes desta inequação por 2 para simplificar e assim teremos que -1 é menor que senθ, que é menor que 1. A maneira como podemos fazer isto é: se θ é menor que π sobre 2 e em π sobre 2 o senθ será igual a 1, e se θ é maior do que -π sobre 2, portanto se restringi-la desta forma, se nós dissemos que θ vai estar nesta faixa bem aqui, estaremos restringindo o nosso domínio de uma forma razoável. Isso funcionar bem, porque isso normalmente é o intervalo para a função de seno, mas agora há outra pergunta que você pode ter. Você sabe que dividimos pelo cosseno de θ aqui, mas está tudo bem enquanto o cosseno de θ não é igual a zero, porque você não quer um zero no denominador. A coisa boa sobre esta restrição do θ é que enquanto θ é maior que -π sobre 2 e menor que π sobre 2, cosseno de θ vai ser diferente de zero. Na verdade ele vai ser positivo. Se -π sobre 2 ou π sobre 2 forem permitidos, então você obterá um zero aqui embaixo e teríamos que pensar em restringir as coisas de algumas outras maneiras. Portanto parece que tudo está bem e nós não fizemos nada de estranho no domínio ou restringimos de alguma forma estranha. Assim podemos nos sentir bem sobre isso, sobre esta resposta que nós obtivemos.