Substituição trigonométrica com tangente

RKA4JL - Vamos ver se conseguimos avaliar a integral indefinida 1 sobre (9 mais x²) dx. Nós sabemos que se desenharmos a curva a² menos x², poderia ser uma boa ideia substituir x por (a vezes senθ), mas não vemos esse padrão aqui. Na verdade o que vemos é a² mais x². Nesse contexto tende a ser uma boa ideia. Não vai funcionar sempre, mas podemos tentar. Vamos tentar x igual a (a vezes tanθ). Para fazer a substituição e ver se as coisas seriam simplificadas, isso seria igual a a² mais a² vezes tan²θ, que é a² vezes (1 mais tan²θ). Esta parte bem aqui vou provar de novo para você. Isso vai ser a² vezes (cos²θ sobre cos²θ) mais a tangente, que é sen²θ, sobre cos²θ. Por isso que eu usei cosseno aqui, para que eu possa adicionar essas duas coisas. Isso vai ser a² vezes (cos²θ mais sen²θ) sobre cos²θ. Esse numerador, pela definição do círculo unitário da trigonometria, se torna 1. Então isso é 1 sobre cos²θ e tudo se simplifica a a² vezes sec²θ, o que pode simplificar as coisas. Vamos ver essa parte. Poderíamos reescrever isso, então 9 mais x² pode ser reescrito como 3² mais x². Nesse caso, “a” é igual a 3, então queremos fazer a substituição. Ficaria x igual 3 vezes tanθ. Se quisermos resolver para x, poderemos dividir ambos os lados por 3 porque mais tarde podemos desfazer essa substituição. Então x sobre 3 é igual a tanθ, ou θ igual ao arco tangente ou tangente inversa de x/3. Agora também temos que descobrir o que é dx. Vamos fazer a derivada ou escrever na forma diferencial. x é igual a 3 vezes a derivada tangente de θ em relação a θ, que é sec²θ dθ. Agora parece que temos todas as ferramentas necessárias para reescrever a integral. Então isso aqui vai ser igual à integral indefinida... Temos dx aqui, que é igual a 3 vezes sec²θ dθ. Esse é o nosso dx. E tudo aquilo vai estar sobre essa parte bem aqui, nosso a² mais x². Agora já sabemos como vamos simplificar. a² mais x², como fizemos a substituição x igual a 3 vezes tanθ, vai ser simplificado para a² vezes sec²θ. Então isso vai se simplificar para 9 vezes sec²θ. Você pode, essencialmente, ler ou ver a lógica por trás disso. Você terá 9 mais 9 vezes tan²θ, 9 vezes (1 mais tan²θ) e essencialmente é 9 vezes sec²θ. Agora, por sorte, essas duas secantes ao quadrado se cancelam, então nós temos 3/9. Isso pode ser reescrito como ⅓, que é a simplificação de 3/9, vezes a integral definida de dθ, que é igual a ⅓θ mais C. Agora temos que colocar as coisas em termos de x. Vemos que θ é igual ao arco tangente de x/3, então isso vai ser igual a ⅓ arco tangente de x/3 mais C. Então nós finalmente terminamos. Agora sabemos como lidar com casos onde podemos ver algo como a² menos x² e a² mais x². Não vai funcionar sempre, mas pode ser útil porque sempre podemos tentar isso. Pode ser que nem sempre se torne uma integral solucionável, mas não é algo ruim de se tentar. Quando a substituição por 1 não estiver funcionando, você pode procurar esses padrões e tentar substituições trigonométricas.