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Cálculo integral

Curso: Cálculo integral > Unidade 1

Lição 13: Integração por substituição
Matemática
Cálculo integral
Integrais
Integração por substituição
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Integração por substituição

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A integração por substituição é essencialmente o inverso da regra da cadeia para derivadas. Em outras palavras, ela nos ajuda a integrar funções compostas.
Encontrar primitivas é basicamente realizar o "inverso de uma derivação". Alguns casos são bem fáceis. Por exemplo, sabemos que a derivada de start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54 é start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, então integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C. Podemos usar este raciocínio simples com outras funções básicas, como s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction etc.
Outros casos, no entanto, não são tão simples. Por exemplo, qual é a integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x? Dica: não é s, e, n, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C. Tente derivar e veja o porquê.
Um método que pode ser muito útil é a integração por substituição, que é basicamente o inverso da regra da cadeia.

Como usar a integração por substituição com integrais indefinidas

Imagine que tenhamos que encontrar integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Observe que start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab é a derivada de start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, que é a função "interna" da função composta start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10. Em outras palavras, sendo start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54 e start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, temos:
start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10
Isso sugere que a integração por substituição era necessária. Vamos ver como ela foi feita.
Primeiramente, derivamos a equação start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 de acordo com x, e tratamos u como uma função implícita de x.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2x dx\begin{aligned} u&=x^2 \\\\ \dfrac{d}{dx}[u]&=\dfrac{d}{dx}[x^2] \\\\ \dfrac{du}{dx}&=2x \\\\ \purpleD{du}&\purpleD{=2x\,dx} \end{aligned}
Nesta última linha, multiplicamos a equação por d, x para isolar d, u. De certa forma, isso não é convencional, mas será útil para a próxima etapa. Então, temos start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 e start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Agora, podemos realizar uma substituição na integral:
=∫2xcos⁡(x2) dx=∫cos⁡(x2⏟u)2x dx⏟duReordenar.=∫cos⁡(u) duSubstituir.\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \purpleD{2x}\goldD{\cos(}\greenD{x^2}\goldD )\,\purpleD{dx} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(\greenD{\underbrace{x^2}_{u}})}\purpleD{\underbrace{2x\,dx}_{du}}&\gray{\text{Reordenar.}} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du}&\gray{\text{Substituir.}} \end{aligned}
Após a substituição, ficamos com uma expressão para a primitiva de start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 em função de u. Que conveniente! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis é uma função básica, então podemos encontrar sua derivada de uma forma simples. A única coisa que falta é fazer a função voltar a ser em função de x:
=∫cos⁡(u) du=sen⁡(u)+C=sen⁡(x2)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\,du \\\\ &=\operatorname{sen}(\greenD u)+C \\\\ &=\operatorname{sen}(\greenD{x^2})+C \end{aligned}
Conclusão: integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x é s, e, n, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. Você pode derivar s, e, n, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C para tirar a prova.
Conclusão importante 1: a integração por substituição é realmente o inverso da regra da cadeia:
  • De acordo com a regra da cadeia, a derivada de start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 é start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
  • Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab e encontramos sua primitiva start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.
Conclusão importante 2: a integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável.
Problema 1.A
  • Atual
O conjunto de problemas 1 o guiará por todas etapas do cálculo da seguinte integral usando a integração por substituição.
integral, left parenthesis, 6, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x, equals, question mark
Como devemos definir u?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: obter expressões incorretas para u ou d, u

Escolher a expressão errada para u resultará em uma resposta errada. Por exemplo, no conjunto de problemas 1, u deve ser definida como 2, x, cubed, plus, 5. Definir u como 6, x, squared ou left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript não funcionará.
Lembrete: para aplicar a integração por substituição, devemos ser capazes de escrever a integrando como start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab. Então, u deve ser definida como a função interna do fator composto.
Outro etapa crítica nesse processo é encontrar d, u. Verifique se você está derivando u corretamente, pois uma expressão errada para d, u também resultará em uma resposta errada.
Problema 2
Tim precisava calcular integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x. Esta foi a solução apresentada por ele:
integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x, equals, s, e, n, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, plus, C
A solução de Tim está correta? Se não, o que ele errou?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não perceber a necessidade da integração por substituição

Lembrete: ao integrarmos uma função composta, não podemos simplesmente usar a primitiva da função externa. Precisamos usar a integração por substituição.
Ao considerar W uma primitiva de w, esta questão pode ser expressa matematicamente da seguinte maneira:
integral, w, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, d, x, does not equal, W, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, plus, C

Outro erro comum: confundir a função interna e sua derivada

Imagine que esteja tentando calcular integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x. Você talvez diga "como 2, x é a derivada de x, squared, podemos usar a integração por substituição". Na realidade, como a integração por substituição requer o cálculo da derivada da função interna, x, squared deve ser a derivada de 2, x para que a integração por substituição funcione. Como este não é o caso, a integração por substituição não se aplica aqui.

Às vezes, precisamos multiplicar/dividir a integral por uma constante.

Imagine que você tenha que calcular integral, start color #e07d10, s, e, n, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Observe que, embora tenhamos uma função composta start color #e07d10, s, e, n, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, ela não está multiplicada por nada. Isso pode parecer estranho a princípio, mas vamos continuar e ver o que acontece.
Definimos start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, então start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab. Agora, aplicamos a integração por substituição na integral, mas antes devemos realizar esse reordenamento inteligente:
integral, start color #e07d10, s, e, n, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, integral, start color #e07d10, s, e, n, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab
Viu o que fizemos? A fim de obter start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab na integrando, multiplicamos toda a integral por start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Dessa maneira, pudemos fazer a integração por substituição, mantendo o valor da integral.
Continuemos com a substituição:
=13∫sen⁡(3x+5⏟u)3 dx⏟du=13∫sen⁡(u) du=−13cos⁡(u)+C=−13cos⁡(3x+5)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\operatorname{sen}(\greenD{\underbrace{3x+5}_u})}\purpleD{\underbrace{3\,dx}_{du}} \\\\ &=\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\operatorname{sen}(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du} \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{u})+C \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{3x+5})+C \end{aligned}
Conclusão importante: às vezes, precisamos multiplicar ou dividir toda a integral por uma constante, a fim de obtermos a forma apropriada para realizar a integração por substituição sem alterar o valor da integral.
Problema 3
integral, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, cubed, d, x, equals, question mark
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar blobby green style do usuário ccintra75
    Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “As fórmulas encontradas e...” de ccintra75
    As fórmulas encontradas em tabelas de integrais indefinidas auxiliam no desenvolvimento de cálculos que envolvem processos de integração; porém, nem todas as funções possuem antiderivadas diretas, porque em sua estrutura há composição de funções. No Cálculo Diferencial, a regra da cadeia, a partir de uma substituição, combinada a outras regras de diferenciação, é um procedimento para contornar problemas de derivação de funções compostas. De forma análoga, o método da substituição parte dessas ideias, de forma inversa, para calcular integrais de funções compostas a partir do resultado do teorema fundamental do Cálculo. Na construção de plataformas de petróleo, são realizadas diversas simulações virtuais de possíveis vazamentos em tanques de armazenamento. Esses testes são realizados para avaliar a qualidade dos dispositivos eletrônicos de segurança, instalados com a finalidade de prevenir possíveis acidentes de trabalho relacionados a riscos de explosão por agentes físicos ou contaminação dos trabalhadores por agentes químicos. Suponha que você está auxiliando em uma dessas simulações virtuais. Na modelagem matemática desta implementação computacional, o teste simulado utiliza a taxa de vazamento de óleo em litros por minuto, seguindo a função: r(t) = 100e-0,01t . A experimentação virtual presenta, como intervalo de confiança, a quantidade de [4500, 4515] litros de óleo vazados na primeira hora. Tendo como base essas informações, se na simulação ocorrer vazamento por uma hora, qual será a quantidade de óleo vazada, aproximadamente?
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  • Avatar blobby green style do usuário 514692019
    Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “O teorema fundamental do ...” de 514692019
    O teorema fundamental do cálculo permite uma fácil interpretação dos cálculos para resolver integrais, sem a necessidade da implementação das somas de Riemann. Permite, inclusive, avaliar alguns aspectos de função, como intervalos na qual cresce e decresce, e, ainda, apresenta valores de máximos e mínimos locais e concavidade. Seja
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