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Cálculo integral

Curso: Cálculo integral > Unidade 1

Lição 13: Integração por substituição
Matemática
Cálculo integral
Integrais
Integração por substituição
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Integração por substituição

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A integração por substituição é essencialmente o inverso da regra da cadeia para derivadas. Em outras palavras, ela nos ajuda a integrar funções compostas.
Encontrar primitivas é basicamente realizar o "inverso de uma derivação". Alguns casos são bem fáceis. Por exemplo, sabemos que a derivada de x2 é 2x, então ∫2xdx=x2+C. Podemos usar este raciocínio simples com outras funções básicas, como sen(x), ex, 1x etc.
Outros casos, no entanto, não são tão simples. Por exemplo, qual é a ∫cos⁡(3x+5)dx? Dica: não é sen(3x+5)+C. Tente derivar e veja o porquê.
Um método que pode ser muito útil é a integração por substituição, que é basicamente o inverso da regra da cadeia.

Como usar a integração por substituição com integrais indefinidas

Imagine que tenhamos que encontrar ∫2xcos⁡(x2)dx. Observe que 2x é a derivada de x2, que é a função "interna" da função composta cos⁡(x2). Em outras palavras, sendo u(x)=x2 e w(x)=cos⁡(x), temos:
2x⏞u′cos⁡(x2⏞u)⏟w=u′(x)w(u(x))
Isso sugere que a integração por substituição era necessária. Vamos ver como ela foi feita.
Primeiramente, derivamos a equação u=x2 de acordo com x, e tratamos u como uma função implícita de x.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2xdx
Nesta última linha, multiplicamos a equação por dx para isolar du. De certa forma, isso não é convencional, mas será útil para a próxima etapa. Então, temos u=x2 e du=2xdx. Agora, podemos realizar uma substituição na integral:
=∫2xcos⁡(x2)dx=∫cos⁡(x2⏟u)2xdx⏟duReordenar.=∫cos⁡(u)duSubstituir.
Após a substituição, ficamos com uma expressão para a primitiva de cos⁡(u) em função de u. Que conveniente! cos⁡(u) é uma função básica, então podemos encontrar sua derivada de uma forma simples. A única coisa que falta é fazer a função voltar a ser em função de x:
=∫cos⁡(u)du=sen(u)+C=sen(x2)+C
Conclusão: ∫2xcos⁡(x2)dx é sen(x2)+C. Você pode derivar sen(x2)+C para tirar a prova.
Conclusão importante 1: a integração por substituição é realmente o inverso da regra da cadeia:
  • De acordo com a regra da cadeia, a derivada de w(u(x)) é w′(u(x))⋅u′(x).
  • Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma w′(u(x))⋅u′(x) e encontramos sua primitiva w(u(x)).
Conclusão importante 2: a integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável.
Problema 1.A
O conjunto de problemas 1 o guiará por todas etapas do cálculo da seguinte integral usando a integração por substituição.
∫(6x2)(2x3+5)6dx=?
Como devemos definir u?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: obter expressões incorretas para u ou du

Escolher a expressão errada para u resultará em uma resposta errada. Por exemplo, no conjunto de problemas 1, u deve ser definida como 2x3+5. Definir u como 6x2 ou (2x3+5)6 não funcionará.
Lembrete: para aplicar a integração por substituição, devemos ser capazes de escrever a integrando como w(u(x))⋅u′(x). Então, u deve ser definida como a função interna do fator composto.
Outro etapa crítica nesse processo é encontrar du. Verifique se você está derivando u corretamente, pois uma expressão errada para du também resultará em uma resposta errada.
Problema 2
Tim precisava calcular ∫cos⁡(5x−7)dx. Esta foi a solução apresentada por ele:
∫cos⁡(5x−7)dx=sen(5x−7)+C
A solução de Tim está correta? Se não, o que ele errou?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não perceber a necessidade da integração por substituição

Lembrete: ao integrarmos uma função composta, não podemos simplesmente usar a primitiva da função externa. Precisamos usar a integração por substituição.
Ao considerar W uma primitiva de w, esta questão pode ser expressa matematicamente da seguinte maneira:
∫w(u(x))dx≠W(u(x))+C

Outro erro comum: confundir a função interna e sua derivada

Imagine que esteja tentando calcular ∫x2cos⁡(2x)dx. Você talvez diga "como 2x é a derivada de x2, podemos usar a integração por substituição". Na realidade, como a integração por substituição requer o cálculo da derivada da função interna, x2 deve ser a derivada de 2x para que a integração por substituição funcione. Como este não é o caso, a integração por substituição não se aplica aqui.

Às vezes, precisamos multiplicar/dividir a integral por uma constante.

Imagine que você tenha que calcular ∫sen(3x+5)dx. Observe que, embora tenhamos uma função composta sen(3x+5), ela não está multiplicada por nada. Isso pode parecer estranho a princípio, mas vamos continuar e ver o que acontece.
Definimos u=3x+5, então du=3dx. Agora, aplicamos a integração por substituição na integral, mas antes devemos realizar esse reordenamento inteligente:
∫sen(3x+5)dx=13∫sen(3x+5)3dx
Viu o que fizemos? A fim de obter 3dx na integrando, multiplicamos toda a integral por 13. Dessa maneira, pudemos fazer a integração por substituição, mantendo o valor da integral.
Continuemos com a substituição:
=13∫sen(3x+5⏟u)3dx⏟du=13∫sen(u)du=−13cos⁡(u)+C=−13cos⁡(3x+5)+C
Conclusão importante: às vezes, precisamos multiplicar ou dividir toda a integral por uma constante, a fim de obtermos a forma apropriada para realizar a integração por substituição sem alterar o valor da integral.
Problema 3
∫(2x+7)3dx=?
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar blobby green style do usuário ccintra75
    Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “As fórmulas encontradas e...” de ccintra75
    As fórmulas encontradas em tabelas de integrais indefinidas auxiliam no desenvolvimento de cálculos que envolvem processos de integração; porém, nem todas as funções possuem antiderivadas diretas, porque em sua estrutura há composição de funções. No Cálculo Diferencial, a regra da cadeia, a partir de uma substituição, combinada a outras regras de diferenciação, é um procedimento para contornar problemas de derivação de funções compostas. De forma análoga, o método da substituição parte dessas ideias, de forma inversa, para calcular integrais de funções compostas a partir do resultado do teorema fundamental do Cálculo. Na construção de plataformas de petróleo, são realizadas diversas simulações virtuais de possíveis vazamentos em tanques de armazenamento. Esses testes são realizados para avaliar a qualidade dos dispositivos eletrônicos de segurança, instalados com a finalidade de prevenir possíveis acidentes de trabalho relacionados a riscos de explosão por agentes físicos ou contaminação dos trabalhadores por agentes químicos. Suponha que você está auxiliando em uma dessas simulações virtuais. Na modelagem matemática desta implementação computacional, o teste simulado utiliza a taxa de vazamento de óleo em litros por minuto, seguindo a função: r(t) = 100e-0,01t . A experimentação virtual presenta, como intervalo de confiança, a quantidade de [4500, 4515] litros de óleo vazados na primeira hora. Tendo como base essas informações, se na simulação ocorrer vazamento por uma hora, qual será a quantidade de óleo vazada, aproximadamente?
    (3 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar blobby green style do usuário 514692019
    Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “O teorema fundamental do ...” de 514692019
    O teorema fundamental do cálculo permite uma fácil interpretação dos cálculos para resolver integrais, sem a necessidade da implementação das somas de Riemann. Permite, inclusive, avaliar alguns aspectos de função, como intervalos na qual cresce e decresce, e, ainda, apresenta valores de máximos e mínimos locais e concavidade. Seja
    (2 votos)
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