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Curso: Cálculo integral > Unidade 1

Lição 13: Integração por substituição

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Aquecimento para a integração por substituição

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Antes de ir para a parte de exercícios práticos, adquira alguma experiência livre de riscos com a integração por substituição.

Calcule todas as integrais definidas.

Problema 1

\int \cos (x^{2}) 2 x d x =

+ C

Observe que

2 x

é a derivada de

x^{2}

. Se fizermos

u = x^{2}

, então

d u = 2 x d x

, e podemos substituir para obter uma integral mais simples.

\int \cos (x^{2}) 2 x d x = \int \cos (u) d u

Podemos agora calcular a primitiva:

\begin{aligned} = \int \cos (u) d u \\ = sen (u) + C \\ = sen (x^{2}) + C & Substituir u de volta \end{aligned}

Então

\int \cos (x^{2}) 2 x d x = sen (x^{2}) + C

Podemos calcular a derivada de

sen (x^{2}) + C

para conferir nosso trabalho.

Problema 2

\int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x =

+ C

Observe que

3 x^{2}

é a derivada de

x^{3} + 3

. Se fizermos

u = x^{3} + 3

, então

d u = 3 x^{2} d x

, e podemos substituir para obter uma integral mais simples.

\begin{aligned} \int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x & = \int \frac{1}{(x^{3} + 3)^{2}} \cdot 3 x^{2} d x \\ = \int \frac{1}{u^{2}} d u \end{aligned}

Podemos agora calcular a primitiva:

\begin{aligned} = \int \frac{1}{u^{2}} d u \\ = - \frac{1}{u} + C \\ = - \frac{1}{x^{3} + 3} + C & Substituir u de volta \end{aligned}

Então

\int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x = - \frac{1}{x^{3} + 3} + C

Podemos calcular a derivada de

- \frac{1}{x^{3} + 3} + C

para conferir nosso trabalho.

Problema 3

\int e^{4 x} d x =

+ C

Problema 4

\int x \cdot \sqrt{\frac{1}{6} x^{2} + 1} d x =

+ C

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