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Integração por substituição: aplicação desafiadora

Como encontrar o valor de  ∫(2^ln x)/x dx. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

eu estava olhando fórum de discussões da queda no facebook e antônio colocou este problema pedindo para ser resolvido e parece ser um problema de interesse geral se integra ao indefinido de 2 e levado a um lugar e um natural de x tudo sobre x vezes de x e no quadro de mensagens francisco também postou uma solução e está correta mas pensei que isto era de interesse geral então vou fazer um rápido vídeo sobre isto a primeira coisa quando vê uma integral como esta é dizer ei eu tenho este organismo natural de x no numerador e por onde eu começo ea primeira coisa que talvez ocorra é que isto é a mesma coisa que é integral de um sobre x vezes dois ^ logaritmo natural de xx e então você tem uma expressão aqui ou parte da nossa função maior e você tem a sua derivada certo sabemos que é derivada deixam escrever isto aqui sabemos que é derivada com relação à x do localismo natural de x é igual a 1 sobre x portanto temos uma expressão e temos a sua derivada que não nos diz que podemos utilizar substituição você pode fazer isto de cabeça mas este problema não é trivial assim então vamos fazer substituição vamos substituir isso aqui por o então vamos fazer isso então você vai definir ou não precisa ser a letra ou é apenas uma convenção ela é chamada de substituição o que poderia ser substituição é se o que for vamos dizer que o é igual a um ritmo natural de x e depois deu sobre the xx é a derivada de ouro com relação à x e é claro é igual a 1 sobre x ou apenas o diferencial deu se multiplicarmos ambos os lados por deixeis será igual a 1 sobre x de x vamos fazer nossa substituição é esta é a nossa integral portanto isto será igual à integral em definida ante derivadas de 2 elevado a 1 então 2 levado à u vezes um sobre xx agora o que é um sobre xx é apenas de um então esse termo vezes aquele é apenas o nosso de um deixe me fazer com uma cor diferente um sobre x vezes de x é apenas igual à de um e isso é igual aquilo ali agora isso ainda não se parece com o integral fácil embora mais simplificado e para resolver sempre que vejo a variável que estou integrando no expoente não temos nenhuma regra fácil para o expoente a única coisa com a qual estou familiarizado onde tem 16 x 1 uma variável que estão integrando no mês point é o caso de elevado à x sabemos que é integral de e elevada xdx é igual a e é levada x mas se então se eu pudesse de alguma forma transformar isso em alguma variação de elevada x talvez eu possa tornar essa integral um pouco mais tratável então vamos ver como podemos redefinir estou aqui bem dois é igual aqui dois é a mesma coisa que a elevada logaritmo natural de 2 certo o logaritmo natural de 2 é a potência que você tem para levar a e obter dois então se é levar e aquela potência obter a 2 isto é na verdade a definição de logar isso natural que você é leva e logaritmo natural de 2 você terá dois vamos escrever isso usando isto poderemos chamar isto de reescrita ou não quero chamar isto de substituição é apenas uma maneira diferente escrever o número 2 portanto será igual à em vez de escrever um número 2 eu poderia escrever e elevada lo garantiu natural de 2 e tudo isso é levado a u de um e agora isto é igual aqui bem se eu e levou algum expoint e depois há outro expoente este é a mesma coisa que ela vai minha base ao produto desses points portanto esse é igual a vou mudar de cor isto é igual a integral de elevado a 1 deixe me inscrever desta forma e é levado a logaritmo natural de 2 vezes o só estou multiplicando esses dois expoentes e eu levo algo algo e eleva novamente sabemos pelas regras de espoliação que é apenas um produto de dois expoentes de um agora isso é apenas um fator constante bank e se poderia ser você sabe apenas um número poderíamos usar uma calculadora para descobrir poderíamos definir isto é igual a mas sabemos que em geral integral é bastante direta nós agora colocaremos desta forma antes da elevada de elevado a 1 deu é apenas um sobre a e é levado a um estou vendo essa definição aqui em cima e é claro mas c ea regra da cadeia se tornarmos a derivada disso tomamos a derivada do interior que será apenas a multiplicamos isso por um sobre a então podemos cancelar restando apenas é elevado a um estudo definitivamente funciona assim a gente derivada disso será igual a um número sobre o nosso a será um número sobe nosso termo constant 1 sobre o logaritmo natural de 2 vezes toda a nossa expressão e eu farei uma coisa e isso é apenas algum número face sul logo após escrevê lo como o vezes algum número estou fazendo isso para colocá lo de uma forma que possamos nos ajudar a simplificar um pouco mais portanto elevada eo logaritmo natural de 2 tudo o que eu fiz foi trocar esta ordem poderia ter escrito como elevador logaritmo natural de dois meses ou se isto é um a aviso será o mesmo que o vezes a mas se esta é a nossa resposta mas temos que fazer uma substituição reversa ante ficamos satisfeitos com o que conseguimos ante derivado em relação à x mas antes de fazer isso veremos se posso simplificar isso um pouco mais se eu tiver a partir das propriedades do nosso lugar isso natural o logaritmo aves logaritmo db sabemos que isto é o mesmo que o logaritmo natural de belém levado a mexichem desenhar uma linha reto e isto se torna um expoente de qualquer lugar isso natural que calculamos então um vou escrever aqui o vezes o logaritmo natural de 2 é o mesmo que o logaritmo natural de 2 elevado a 1 assim podemos reescrever nossa ante derivada como sendo igual a 1 sobre o logaritmo natural de 2 apenas essa parte aqui vezes elevado a isto pode ser escrito com base nessa propriedade logaritmo como logaritmo natural de 2 e levada a um e claro que ainda temos nosso mais sei lá agora o que é elevado ao organismo natural de 2 é levado a um logaritmo natural de 2 e levado ao é a potência que terá de levar e para obter 2 e levado a um certo por definição então se é levar musée aquela potência o que vamos obter teremos dois e levado ao então isso será igual a 1 sobre o gaúcho natural de 2 e isto simplifica para apenas 2 e levado a um eu escrevi que o logaritmo natural de a eu poderia escrever em termos gerais deixe me fazer estou aqui talvez eu esteja perdendo tempo mas eu posso em geral escrever qualquer número como sendo igual aí elevado algarismos natural de a este é o expoente que você tem que levar e para obter a se você levar em aquilo você obterá a então elevador logaritmo natural de 2 levado a 1 e 2 elevado a 1 e ainda tenho o mais e agora podemos usar substituição reversa agora definimos o como sendo igual ao que definimos ou até aqui como sendo igual o gaúcho natural de x então vamos fazer a substituição reversa aqui e assim a resposta à nossa equação original vou escrever aqui porque é gratificante quando você vê esse tipo bastante complicado de problema diante da elevada do elevado no gaúcho natural de x sobre x de x agora descobrimos ser igual ao que nós pensamos por substituição nós apenas substituímos o pelo organismo natural de x por que aquela era a nossa substituição em 1 sobre o logaritmo natural às vezes do elevador logaritmo natural de x mas se e terminamos isso não está no denominador como escrevi pode parecer um pouco ambíguo e terminamos este foi um problema bem interessante obrigado ao antônio pra postar isto