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Integração por substituição: dupla substituição

Cálculo da integral indefinida de cos(5x)/e^[sen(5x)]. Para isso, precisamos fazer a integração por substituição duas vezes. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

vejamos se podemos calcular integral de cosseno de x sobre elevado ou sendo de 5 x de x vamos pensar se a substituição ou apropriada sua primeira tentação deve ser dizer ah talvez o seja cena de 5x e se o igual 105 x temos algo muito próximo de deu o ok então vamos verificar isso deu poderes e bigode o teu o dx a derivada de um com respeito x somente usaremos a regra da cadeia de elevada de 5 x 5 vezes a derivada de 105 x em relação aos 5 x que é cosseno de 5x se quisermos escrever na forma diferencial é útil quando fazemos a substituição poderíamos dizer que deu é igual a cinco vezes o cosseno de 5x pode ver que não temos de bonito temos somente o cosseno de 5 x 2 x 1 esqueci aqui oceano de 5 x de x você pode ver que tem um conselho de 5 xx mas não temos cinco vezes cosseno de 5 x de x mas sabemos resolver isso podemos multiplicar por cinco e divide por 5 1 5º vezes 5 será somente um e não mudamos o valor da expressão iam fazer dessa forma vemos claramente que temos o nosso hugo eo nosso de o nosso deu é 5 eu vou circular isso vou fazer sem azul é cinco vezes o cosseno de 5 xx então podemos em escrever toda a expressão como eu falei aquele um quinto em roxo então isso será igual a um quinto e um quinto vezes a integral de tudo isso em azul é o meu deu isso fica sobre e elevado e elevado ao o como calculamos antes da elevada disso aqui bom você pode querer [Música] aliás o que você faria aqui não estamos prontos para calcular antes elevada se tivéssemos que reescrever isso eu poderia escrever isso como um por cinco vezes a integral de e elevado a -1 o deu o que pode chamar a atenção aqui que talvez façamos outra substituição já usamos a letra o então agora podemos usar w faremos uma substituição em w pode fazer isso de cabeça mas faremos aqui só para deixar isso mais claro isso teria sido útil se fosse somente elevada ou pois sabemos antes de elevada disso que é elevada a 1 tentemos chegar no formato e elevada um termo negativo já estou começando a ficar sem cores aqui mas vamos lá vamos definir w igual a um negativo então nesse caso quando dw a derivada de w com respeito ou é menos um ou se nós escrevemos essa declaração informa diferencial como dw é igual ao menos deu isso aqui seria o nosso w e será que temos um dw que bom nós só temos deu não temos de o negativo aqui mas podemos criar um deu negativo multiplicando isso aqui por menos um mas também multiplicando por [ __ ] por - 1 - 1 vezes menos um é um então mudamos o valor nós temos que fazer ambos para isso fazer sentido ou poderia fazer assim - um aqui e menos 1 logo ali e se fizermos assim então menos 11 vezes deu é o mesmo que menos de u dessa forma isso daqui é isso daqui então agora podemos rever a nossa integral como -1 5º - um quinto vezes a integral vezes a integral indefinida de elevado ao invés de única tivo podemos ter w então e elevado a w e ao invés de um fim existe menos um ou menos deu podemos escrever de w e agora isso simplifica um pouco sabemos antes de elevada disso em termos de w será igual ao menos um quinto - um quinto vezes e elevado a w e podemos ter uma constante ali então vou adicionar não ser positivo agora temos que fazer a ter substituição sabemos que w é igual ao negativo então poderíamos escrever que isso aqui é igual a menos um quinto eu quero manter as cores um quinto g ^ - o isso é equivalente a w mas c mas ainda não terminamos de de substituir sabemos que o é igual sendo de 5 x então podemos escrever como -1 5º vezes e elevado a menos o bonde o negativo é sereno de 5x não podemos esquecer de adicionar você ali no final havia uma maneira mais simples de fazer isso com só uma substituição mas teria que prevê que não seria trivial não é ruim calcular ante derivada de elevada - o então dentro daquilo você pode ter isso mas não se sinta mal se você não viu que tinha isso daqui poderíamos ter reescrita aquela integral original de se inscrever aqui de novo tão integral de cosseno de 5x sobre e elevado aceno de 5 x de x então poderíamos ter reis dito tudo isso daqui como rosseno de 5x z elevada - cena de 5 x de x e nessa situação nós poderíamos dizer então que o é igual ao menos 5 x ou então igual - sendo de 5x então deus será menos cinco vezes cosseno de 5x não temos 1 - 5 aqui mas podemos construir colocando 1 - 5 ali então multiplicar por um quinto então isso teria simplificado imediatamente integral aqui fazendo ela ser igual ao menos um quinto vezes a integral de bem nós temos nosso deu o que é menos cinco vezes cosseno de 5 xx então esse é o deu eu só mudei a ordem da multiplicação vezes e levado ao essa coisa toda aqui é o tivéssemos feito com uma substituição teríamos obtido de imediato resultado que queríamos calculando antes de levada a paris uma cor só agora porque eu acho que você já entendeu isso então é igual a menos um quinto vezes é elevada eo mais c eo e igual - sendo de 5 x então isso vai ser igual a menos um quinto vezes elevado - cenas de 5x mas sé então isso é mais rápido e mais fácil com o tempo pode até começar a fazer isso de cabeça aqui no topo você não estragou tudo fazendo o igual a cena de 5x apenas tivemos que fazer uma substituição a mais para trabalhar tudo