Integração por substituição: dupla substituição

RKA4JL - Vejamos se podemos calcular a integral de (cosseno de 5x sobre e elevado a seno de 5x) dx. Vamos pensar se a substituição "u" é apropriada. Sua primeira tentação deve ser dizer "ah, talvez u seja sen 5x” e se u é igual ao sen 5x, temos algo muito próximo de du aqui. Então vamos verificar isso. du poderia ser igual a du/dx, a derivada de u com respeito a x, e somente usaremos a regra da cadeia. A derivada de 5x é 5 vezes a derivada de sen 5x em relação ao 5x, que é cos 5x. Se quisermos escrever na forma diferencial, é útil quando fazemos a substituição, ou poderíamos dizer que du é igual a 5 vezes o cosseno de 5x. Pode ver que não temos du ali, temos somente o cosseno de 5x dx (esqueci cos 5x dx). Você pode ver que tem um cos 5x dx, mas não temos 5 vezes cos 5x dx. Mas sabemos resolver isso. Podemos multiplicar por 5 e dividir por 5. ⅕ vezes 5 será somente 1 e não mudamos o valor da expressão. Ao fazer dessa forma vemos claramente que temos o nosso u e nosso du Nosso du é 5 (vou circular, vou fazer isso em azul) é 5 vezes cos 5x dx. Então podemos reescrever toda a expressão como... Eu farei aquele ⅕ em roxo. Então isso será igual a ⅕, ⅕ vezes a integral de tudo isso em azul, que é meu du Isso fica sobre e elevado a u. Como calculamos a antiderivada disso aqui? Você pode querer... Aliás, o que você faria aqui? Não estamos prontos para calcular a antiderivada. Se tivéssemos que reescrever isso, eu poderia reescrever isso como ⅕ vezes a integral de e elevado a (-1u) du O que pode chamar a atenção é que talvez façamos outra substituição. Já usamos a letra u, então agora podemos usar w. Faremos uma substituição em w. Pode fazer isso de cabeça, mas faremos aqui só para deixar isso mais claro. Isso teria sido útil se fosse somente e elevado a u, pois sabemos a antiderivada disso, que é e elevado a u. Tentemos chegar no formato “e elevado a um termo não negativo”. Já estou começando a ficar sem cores aqui, mas vamos lá. Vamos definir w igual a u negativo. Então, nesse caso, quando dw, a derivada de w com respeito a u, é -1, ou se nós escrevermos essa declaração em forma diferencial. Como dw é igual a -du, Isso aqui seria o nosso w. Será que temos um dw aqui? Nós só temos du Não temos du negativo aqui, mas podemos criar um du negativo multiplicando isso aqui por -1, mas também multiplicando por fora por -1. -1 vezes -1 é 1, então não mudamos o valor. Nós temos que fazer ambos para isso fazer sentido, ou poderia fazer assim -1 aqui e -1 logo ali. Se fizermos assim, então -1 vezes du é o mesmo que -du. Dessa forma isso aqui é isso aqui. Então agora podemos reescrever a nossa integral como -⅕ vezes a integral indefinida de e elevado, ao invés de u negativo, podemos ter w, então e elevado a w, e em vez de du vezes -1, ou -du, podemos escrever dw. Agora isso simplifica um pouco. Sabemos a antiderivada disso em termos de w. Será igual a -⅕ vezes e elevado a w e podemos ter uma constante ali, então vou adicionar um C positivo. Agora temos que desfazer a substituição. Sabemos que w é igual a u negativo, então poderíamos escrever que isso aqui é igual a -⅕ (eu quero manter as cores) ⅕ de e elevado a -u. Isso é equivalente a w mais C, mas ainda não terminamos de substituir de volta. Sabemos que u é igual ao sen 5x, então podemos escrever como -⅕ vezes e elevado a -u, onde u negativo é sen 5x, e não podemos esquecer de adicionar C ali no final. Havia uma maneira mais simples de fazer isso com só uma substituição, mas teria que prever que não seria trivial. Não é ruim calcular a antiderivada de e elevado a -u. Então dentro daquilo você pode ter isso, mas não se sinta mal se você não viu que tinha isso aqui. Poderíamos ter reescrito aquela integral original (deixe-me reescrever aquilo de novo). Então a integral de cos 5x sobre (e elevado a sen 5x) dx. Então poderíamos ter reescrito tudo isso como cos 5x vezes e elevado a (-sen 5x) dx. Nessa situação nós poderíamos dizer, então, que u é igual a -5x, ou então igual a -sen 5x. Então du será -5 vezes cos 5x. Não temos -5 aqui, mas podemos construir colocando -5 ali e então multiplicar por ⅕. Então isso teria simplificado imediatamente a integral, fazendo-a ser igual a -⅕ vezes a integral de... Nós temos nosso du, que é -5 vezes cos 5x dx, então esse é o du, eu só mudei a ordem da multiplicação, vezes e elevado a u, essa coisa toda aqui é u. Se tivéssemos feito com uma substituição teríamos obtido de imediato o resultado que queríamos. Calculando a antiderivada (farei isso em uma cor só agora porque eu acho que você já entendeu), isso é igual a -⅕ vezes e elevado a (u) mais C e u é igual -sen 5x, então isso vai ser igual a -⅕ vezes e elevado a (-sen 5x) mais C. Então isso é mais rápido e mais fácil. Com o tempo, você pode até começar a fazer isso de cabeça. Aqui no topo você não estragou tudo ao fazer u igual a sen 5x. Apenas tivemos que fazer uma substituição a mais para trabalhar tudo.