Introdução à integração por substituição

RKA2G - Vamos supor que você se depare com a seguinte integral indefinida: (3x² + 2x), vezes "e" elevado a (x³ + x²) vezes dx. A priori, você pode achar bem complicada esta integral, porque você tem um polinômio vezes "e" elevado a outro polinômio. Mas você pode encontrar alguns padrões. Quem está multiplicando "e" elevado a (x³ + x²) é exatamente a derivada do expoente de "e". Ou seja, se nós chamarmos o expoente de "e" de "u", este fator será du/dx, a derivada de "u" em relação a "x". Portanto, podemos escrever: du/dx = 3x² + 2x. Embora du/dx não seja uma fração (é uma taxa de variação), nós podemos tratá-la algebricamente multiplicando dx de ambos os lados. Então, vamos ter que: du = (3x² + 2x)dx. Alterando os fatores, já que isto é uma multiplicação, podemos escrever esta integral como sendo "e" elevado a (x³ + x²), vezes (3x² + 2x)dx. Mas quem é "e" elevado a (x³ + x²)? Nós chamamos x³ + x² de "u". Então, é "e" elevado a "u". E quem é (3x² + 2x)dx? É o du. Então, ficamos com "e" elevado a "u", vezes du. E esta integral é muito simples. A integral "e" elevado a "u", vezes du vai ser "e" elevado a "u", mais uma constante. Como estamos trabalhando em torno de "x", podemos voltar "u" ao valor que ele é, ou seja, u = x³ + x². Portanto, nós temos que a resposta é: "e" elevado a (x³ + x²), mais uma constante "c". Você pode aplicar a regra da cadeia para esta expressão, derivando-a, e vai encontrar a expressão original. Pois você vai ter "e" elevado a (x³ + x²) vezes a derivada do que está no expoente, ou seja, 3x² + 2x. Essa identificação da substituição por "u" às vezes você faz automaticamente, depois que já estiver acostumado, e não vai ter o trabalho da substituição por "u". Mas, muitas vezes, a substituição por "u" é essencial para que nós achemos a antiderivada ou a integral indefinida de determinadas funções.