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Integração por substituição: função racional

Outro exemplo de uso de integração por substituição. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

o que nós queremos fazer aqui nesse vídeo encontrará integral da função 4x elevado ao cubo sobre x elevada 4 + 7 e eu sei que você deve estar pensando agora como é que o consigo resolver essa integral ela parece ser bem difícil de resolver bem na verdade isso é só aparência tá porque na verdade você pode utilizar o método bem tranqüilo e com isso conseguir resolver essa integral o mistério de resolver essa integral é observar o numerador e o denominador e tentar ver se existe alguma relação entre eles o segredo desse caso que é observar que esse número a dor é o resultado da derivada dessa expressão que está aqui no denominador então se a gente levar x a quarta mais sete nós vamos encontrar 4x ao cubo sabendo que existe essa relação nós podemos utilizar um método chamado método da substituição então a gente vai utilizar esse método e vai fazer uma substituição por hu já que a gente vai utilizar o aqui pra fazer a substituição na verdade você pode utilizar qualquer letra mas é muito comum fazer a substituição por uma mas qual dos dois é que a gente vai fazer essa substituição bem a gente vai substituir a expressão aqui que está embaixo está aqui no denominador então nós vamos dizer que um vai ser igual à x elevado a 4 mais sete como eu sei que o que está aqui no numerador é a derivada dessa expressão que está no denominado do eu vou derivar que esse o então poderei vôo e poder levar essa parte aqui aqui nesse caso em relação à x então nós vamos ter 4 x elevado ao cubo eu utilizei a regra da potência para vocês é derivada coloquei-o 4 aqui na frente e subtraiu um aqui no expoente 4 - um é igual a três vezes de x então eu devesse lado em relação ao ideb vencer lado em relação à x há um detalhe isso daqui é equivalente à de levar o em relação à x e dele vacilado que direto em relação à x é derivada disso tudo é que em relação à x é igual a quatro vezes x elevado ao cubo note que a mesma coisa tudo bem deu é igual a 4 x elevado ao cubo de x assim como de 12 x é igual a 4 x 1 o cubo qualquer um dos dois está certo tudo bem mas quando a gente for fazer a substituição é que é interessante a gente observar algo que já tem de xis aqui do lado esquerdo na verdade se você fizer desse jeito dá no mesmo porque apesar disso daqui não ser uma fração mas se você pensar nisso como uma fração e multiplicar por 10 x dos dois lados você anular esse de x ficando apenas com deo e ficaria com de xis aqui do lado direito que é isso aqui que eu já fiz anteriormente estão fazendo isso a gente já pode utilizar isso aqui pra fazer essa substituição aqui em cima como bem tudo isso aqui é integral vai ser igual a integral de 4x ao cubo de x vão colocar o dx aqui em cima já no numerador sobre x elevado a 4 mas 7 observe que aqui no numerador eu tenho 4 x ao cubo de x não é isso daqui não é essa parte que 4x ao cubo de x não é igual à de um então eu posso fazer uma substituição aqui eu posso dizer então que isso é que vai ser igual a integral de 4x ao cubo de x + 4 x ao cúmulo de x é igual à de 80 eu vou te deu aqui no numerador sobre alguma coisa que está aqui embaixo bem eu tenho x a quarta mais sete aqui certo x elevada 4 mais sete eu fiz a substituição aqui puro então vou te deu o sobre o eu poderia melhorar isso aqui um pouco mais e colocar e isso da seguinte forma a que eu vou colocar o 1 sobre o hull e aquilo deu o que assim fica mais fácil pra gente visualizar e saber calcular essa integral e qual vai ser integral de 1 sobre o deu bem a gente já sabe que quando tem uma integral dessa forma isso aki vai ser igual logaritmo natural do módulo de o valor absoluto de mais uma constante que a gente pode ter tirado é que no momento que fez a derivada dessa expressão beleza e conseguimos calcular aqui é integral de 1 sobre o de u agora que a gente calcula integral gente pode substituir novamente o pela expressão que a gente tinha anteriormente então isso vai ser igual ao logaritmo natural deo em que o igual à x elevado a 4 + 7 o valor absoluto de x elevada 4 + 7 mas essa constante então essa é uma forma de calcular essa integral utilizando o método da substituição então perceba que apesar de inicialmente você tem achado que era uma integral cabulosa integral difícil no final da história nem foi tão difícil basta realizar esse método de substituição lembrando de perceber se existe uma relação aqui disse que está aqui em baixo com isso é que em cima através de uma derivada e aí fazendo o método de substituição a gente consegue calcular a integral não esquecendo claro que no final voltar aqui para essa expressão anterior a expressão que a gente fez a substituição inicialmente