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Integração por substituição: multiplicar por uma constante

Manipulação da expressão para tornar a integração por substituição um pouco mais óbvia. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

nesse vídeo eu quero calculará integral indefinida da raiz quadrada de sete vezes x + 9 vem a primeira coisa que você poderia pensar em fazer aqui para realizar o cálculo dessa integral é utilizando o método da substituição e aí você pode até pensar olha vamos chamar isso aqui dentro da raiz de utah gente vem aqui e chama isso aqui dentro da rede o o oe vai ser igual a 7 x + 9 porém nós temos um pequeno problema que quando a gente calcular derivado em relação às enchentes a gente vai ter derivado de ciúme em relação à x sendo igual a 7 e não tem absolutamente nada que do lado de fora sendo igual a 7 mas qualquer forma vamos fazer isso vamos calcular derivada de ciúme em relação à x e isso sendo igual a 7 a gente pode colocar isso aqui de forma diferencial e aí a gente vai te deum sendo igual a sete vezes de x tudo bem bem mas como eu disse a gente não tem aqui nada que lembre esse set pra gente substituir isso aqui por um no entanto a gente pode utilizar uma propriedade da integral muito interessante e fazer aparecer aqui 17 de alguma forma que aí a gente vai poder utilizar esse método da substituição e qual seria essa propriedade bem a propriedade diz o seguinte que quando a gente tenha integral de um valor escalar constante multiplicando uma função fdx dx isso aki vai ser igual a essa constante à vezes a integral de fdx dx entendeu a idéia é que quando a gente tem uma integral de uma constante multiplicando uma função a gente pode colocar essa constante do lado de fora dessa integral e aí só terá integral desse fdx isso é muito interessante é muito interessante essa propriedade porque a partir dessa propriedade nós vamos fazer aparecer 17 aqui então vamos continuar resolvendo isso aqui embaixo a gente tem que essa integral é igual a integral indefinida claro de equipe pra fazer aparecer 17 aqui a gente pode multiplicar e dividir por sete assim a gente não muda função então a gente teria que por exemplo um sobre sete vezes sete isso é interessante porque quando a gente multiplica e dividir isso por sete utilizando essa propriedade a gente pode colocar esse 1 sobre sete e sete aqui dentro então multiplicando e dividindo essa expressão ac por 7 a gente tem um sobre sete vezes sete isso visa a raiz quadrada de 7 x + 9 x ok agora lembre se que o que eu falei dessa propriedade quando a gente tem um número constante é que multiplicam uma função a gente pode colocar esse número para fora da integral então a gente pode colocar esse 1 sobre sete para fora da integral certo a gente vai ter aqui um sobre sete vezes a integral indefinida de sete vezes a raiz quadrada de 7x mais nove deixes beleza agora sim a gente tem algo que pode trabalhar em utilizar essa regra da substituição isso porque se você observar bem esse 7 x + 9 é o que o 7x mais nove que a gente tem aqui a gente substitui por uma agente disse que isso aqui corresponde ao certo e sete de x conforme a gente viu aqui isso aqui vezes isso aqui é igual ao nosso deus que temos aqui agora sim a gente pode substituir o cálculo integral de um deu então essa integral vai ser igual ao que um sobre sete que estava fora da integral vezes a integral da raiz quadrada de que dio já que o é igual a 7 x + 9 a gente fez essa substituição aqui vezes 72 x que é deu então vezes deu isso vai ser igual a 1 sobre sete vezes a integral a raiz quadrada de um é a mesma coisa que o elevado a 1 sobre dois vou colocar dessa forma para facilitar a visualização aqui dessa integral isso existiu a gente pode calcular essa integral aqui então a gente vai pegar e repetir um sobre sete afinal de contas isso está fora da integral e isso vezes o que a amt derivada de um elevado a 1 sobre dois e qual seria anti derivada de o elevado a 1 sobre dois bem pra fazer isso a gente pode utilizar a regra da potência como somando por um aqui no expoente assim a gente vai ter um novo resultado e depois dividir por esse resultado ou multiplicar pelo inverso desse resultado aqui a gente vai ter um sobre dois mais um sobre dois mais um é a mesma coisa que um sobre dois mais dois sobre dois que vai ser 3 sobre dois então antes de elevada de isso aqui vai ser igual ao elevado a 3 sobre 2 / 3 sobre dois que a mesma coisa que multiplicar pelo inverso disso então a gente vai multiplicar isso aqui por dois sobre 32 textos de um elevado a 3 sobre dois como se trata de uma integral indefinida a gente vai somar isso com uma constância a gente tem que colocar essa constante aqui beleza agora basta a gente resolver isso aqui como a gente tem esse 1 sobre sete multiplicando tudo isso a gente vai abrir um pouco isso e multiplicar 1 sobre sete por dois terços de um elevado a 3 sobre dois e depois multiplicam sobre sete com esses e um sétimo vezes dois terços é a mesma coisa que 2 / 21 vezes um elevado a 3 sobre dois mais um sétimo vezes e que vai ser igual a ser sobre sete que também é uma constante a gente pode dizer que isso aqui é uma outra constante até que a gente chama de ceo e isso é que a gente chama de co2 uma segunda constante é uma constante arbitrária tá beleza acabou já resolvemos essa integral falta apenas substituir se o pelo que a gente fez aqui em cima afinal de contas o é igual a 7 x + 9 então a gente tem que voltar aqui e expressar isso em função de x então tudo isso aqui vai se igual ao do ex / 21 vezes o elevado a 3 sobre dois 7 x + 9 elevado a 3 sobre dois e isso claro mais um sobre 21 vezes esses e dois que também é uma outra constante a gente vai ter uma terceira constante aqui a claro não precisava nem ter colocado estes e três é que não só coloquei pra identificar que isso daqui tudo são constantes mas são constantes diferentes uma das outras ok bem finalmente conseguimos resolver essa integral cabeludo e é legal que você observe bem que mesmo não sendo visível mesmo não sendo algo tão explícito para fazer um método de substituição a gente pode encontrar uma maneira de fazer essa substituição e assim conseguir resolver essa integral beleza te vejo no próximo vídeo