Integração por substituição: multiplicar por uma constante

RKA4JL - Neste vídeo eu quero calcular a integral indefinida da raiz quadrada de (7 vezes x mais 9). A primeira coisa que você poderia pensar em fazer para realizar o cálculo dessa integral é utilizar o método da substituição. Você pode até pensar: "Olha, vamos chamar isso aqui dentro da raiz de 𝓾". A gente vem aqui e chama isso aqui dentro da raiz de 𝓾. 𝓾 vai ser igual a (7x mais 9). Porém nós temos um pequeno problema aqui. Quando a gente calcular a derivada em relação a x, a gente vai ter a derivada desse 𝓾 em relação a x sendo igual a 7 e não tem absolutamente nada aqui do lado de fora sendo igual a 7. Mas, de qualquer forma, vamos fazer isso. Vamos calcular a derivada desse 𝓾 em relação a x e isso sendo igual a 7. A gente pode colocar isso aqui de forma diferencial e ter d𝓾 sendo igual a 7 vezes dx, tudo bem? Mas como eu disse, não tem aqui nada que lembre esse 7 para a gente substituir isso aqui por 𝓾. No entanto, a gente pode utilizar uma propriedade da integral muito interessante e fazer aparecer aqui 7 de alguma forma para a gente poder utilizar esse método da substituição. E qual seria essa propriedade? A propriedade diz o seguinte: quando a gente tem a integral de um valor escalar constante multiplicando 1 função f(x) dx, isso aqui vai ser igual a essa constante 𝓪 vezes a integral de f(x) dx. Entendeu a ideia aqui? Quando tem uma integral de uma constante multiplicando uma função, a gente pode colocar essa constante do lado de fora dessa integral e então só ter a integral desse f(x). Isso é muito interessante. É muito interessante essa propriedade porque a partir dela nós vamos fazer aparecer um 7 aqui. Então vamos continuar resolvendo isso aqui embaixo. A gente tem que essa integral é igual à integral indefinida, claro, de quê? Para fazer aparecer um 7 aqui, a gente pode multiplicar e dividir por 7, assim a gente não muda a função. Então a gente teria aqui, por exemplo, 1/7 vezes 7. Isso é interessante porque quando a gente multiplica e divide isso por 7, utilizando essa propriedade a gente pode colocar esse 1/7 vezes 7 aqui dentro. Então multiplicando e dividindo essa expressão por 7 a gente tem 1/7 vezes 7 e isso vezes a raiz quadrada de (7x mais 9) dx. Agora lembre-se do que eu falei dessa propriedade: quando tem um número constante aqui multiplicando uma função, a gente pode colocar esse número para fora da integral. Então a gente pode colocar esse 1/7 para fora da integral, certo? A gente vai ter aqui 1/7 vezes a integral indefinida de 7 vezes a raiz quadrada de (7x mais 9) dx. Agora, sim, a gente tem algo em que podemos trabalhar e utilizar essa regra da substituição, isso porque, se você observar bem, esse (7x mais 9) é o quê? Esse 7x mais 9 que tem aqui a gente substitui por 𝓾, já que a gente disse que isso aqui corresponde ao 𝓾. E 7 dx, conforme a gente viu, isso aqui vezes isso aqui é igual ao nosso d𝓾, que temos aqui. Agora, sim, a gente pode substituir e calcular a integral de 𝓾 d𝓾. Então essa integral vai ser igual a quê? 1/7, que estava fora da integral, vezes a integral da raiz quadrada de 𝓾, já que 𝓾 é igual a (7x mais 9) (a gente fez essa substituição aqui), vezes 7dx, que é d𝓾. Isso vai ser igual a 1/7 vezes a integral... A raiz quadrada de 𝓾 é a mesma coisa que o 𝓾 elevado a (½). Vou colocar dessa forma para facilitar a visualização desta integral. E isso vezes d𝓾. Como que a gente pode calcular essa integral aqui? A gente vai repetir 1/7, afinal de contas isso está fora da integral, e isso vezes o quê? A antiderivada de 𝓾 elevado a (½). E qual seria a antiderivada de 𝓾 elevado a (½)? Para fazer isso a gente pode utilizar a regra da potência. Como? Somar 1 aqui no expoente, assim a gente vai ter um novo resultado, e depois dividir por esse resultado ou multiplicar pelo inverso desse resultado. Aqui a gente vai ter ½ mais 1. ½ mais 1 é a mesma coisa que ½ mais 2/2, que vai ser 3/2. Então a antiderivada disso aqui vai ser igual a 𝓾 elevado a (3/2) dividido por 3/2, que é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso disso. Então a gente vai multiplicar isso aqui por 2/3. 2/3 de 𝓾 elevado a (3/2). Como se trata de uma integral indefinida, a gente vai somar isso com uma constante. Então a gente tem que colocar essa constante aqui. Agora basta a gente resolver isso aqui. Como a gente tem esse 1/7 multiplicando tudo isso, a gente vai abrir um pouco isso e multiplicar 1/7 por 2/3 de 𝓾 elevado a (3/2) e depois multiplicar 1/7 com esse C. 1/7 vezes 2/3 é a mesma coisa que 2/21 vezes 𝓾 elevado a (3/2) mais 1/7 vezes C, que vai ser igual a C sobre 7, que também é uma constante. A gente pode dizer que isso aqui é uma outra constante. Esta aqui a gente chama de C1 e esta aqui a gente chama de C2, uma segunda constante, uma constante arbitrária. Acabou, já resolvemos essa integral. Falta apenas substituir esse 𝓾 pelo que a gente fez aqui em cima, afinal de contas 𝓾 é igual a (7x mais 9). Então a gente tem que voltar aqui e expressar isso em função de x. Então tudo isso aqui vai se igual a 2/21 vezes 𝓾 elevado a (3/2), que é (7x mais 9), elevado a (3/2) e isso, claro, mais 1/21 vezes esse C2, que também é uma outra constante. Então a gente vai ter uma terceira constante aqui. Ah, claro, não precisava nem ter colocado este C3 aqui. Só coloquei para identificar que isso tudo são constantes, mas são constantes diferentes umas das outras. Finalmente conseguimos resolver essa integral cabeluda e é legal que você observe bem que mesmo não sendo visível, mesmo não sendo algo tão explícito para fazer em um método de substituição, a gente pode encontrar uma maneira de fazer essa substituição e assim conseguir resolver essa integral. Vejo você no próximo vídeo!