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Integração por substituição: integral definida de função exponencial

Como calcular a integral definida de 0 a 1 de x²⋅2^(x³). Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

o que eu quero fazer nesse vídeo é calcular a integral definida com os limites de integração indo de 0 até um da função x elevada ao quadrado vezes do elevado à x elevado ao cubo de x quando a gente olha para essa integral logo de cara a gente logo leva um susto e fica perguntando como é que nós podemos resolver isso no entanto você deve se lembrar da função e não é que você está muito acostumado a calcular derivado em relação à x da função e levado à x afinal a derivada de elevado x é o próprio elevado x e você também está muito acostumado a calcular a amt derivada de elevado ache certo afinal antes derivada de elevado xdx é igual ao próprio e levado à x claro mais uma constante então se você já está acostumado com isso é interessante a gente pegar essa parte aqui e fazer uma substituição por algo que tenham e porque assim a gente vai começar a observar isso de uma forma mais parecida com essa e que vai nos ajudar a resolver essa integral mas como eu posso transformar esse dois elevados x ao cubo há algo elevado aí pelas propriedades do logaritmo a gente já sabe que dois vai ser igual a e elevado logaritmo natural de 2 certo já que todas as vezes que a gente tem um elevado ao lnd alguma coisa isso vai ser igual a essa coisa em tão elevado a lnd dois é igual a 2 sendo assim a gente pode dizer que dois é igual aí e levado ao lnd 2 mas a gente ainda tem esse xis elevado ao cubo aqui não é o que nós poderíamos fazer aqui então elevar esses dois lados da equação ao x elevado ao cubo assim nós vamos ter aqui deixa eu colocasse dois só um pouquinho mais para a esquerda para a gente ter mais espaço assim a gente vai ter aqui dois e levado à x elevado ao cubo e esse lado aqui a gente também vai ter se elevado o lnd 2 elevado à x ao cubo e isso vai ser igual ao que a gente vai ter aqui o ele quando alguma coisa que coisa todas as vezes que a gente tenha sln de alguma coisa e levado a outra coisa isso vai ser a mesma coisa que essa coisa que vezes sln então a gente vai ter se elevado à x ao cubo visys o ln o logaritmo natural de 2 então isso é que já é bem mais semelhante com o que nós estamos acostumados a gente pode até fazer uma substituição aqui então vamos calcular essa integral não vamos se preocupar com a parte definido agora com esses limites de integração não tudo bem vamos calcular apenas a integral indefinida por enquanto depois a gente volta que se preocupa com isso então a gente tem que é integral indefinida de x e levado ao quadrado vezes dois ^ x elevado ao cubo de x é igual a integral de x elevada ao quadrado vezes 2 elevado à x elevado ao cubo só que dois elevados x elevado ao cubo é a mesma coisa que esse elevado x ao cubo fez o lnd 2 então a gente pode até colocar isso aqui inclusive eu vou copiar toda essa parte aqui e já colocar logo aqui não podemos esquecer do dx no final certo porém isso daqui ainda fica um pouco confuso para a gente resolver como é que a gente pode resolver se elevado x ao cubo fez o lnd 2 uma forma de fazer isso é utilizando um método de substituição a gente poderia por exemplo substituir tudo isso aqui por um mas será que daria certo sim porque se a gente substituir isso é que puro e derivar a gente vai ter três vezes x elevado ao quadrado viso lnd 2 já que o lnd 2 é uma constante a gente precisa apenas de levar essa parte então nós vamos ter um x ao quadrado de x e que a gente vai poder substituir por esse xis ao quadrado de xis aqui então vamos fazer isso vamos utilizar esse método de substituição a gente vai falar que o vai ser igual à x elevado a 3x ao cubo vezes o lnd 2 aí a gente vai derivar esse de ueda ele vai esse lado em relação à x a gente vai ter que 3 x ao quadrado vezes o lnd 2 the xx a gente pode rearranjar ainda isso daqui e colocar x ao quadrado vezes três vezes o lnd 2d x e lembrando que se a gente tem um número aqui a gente pode colocar ele aqui no expoente desse outro que está dentro do rn então isso daqui vai ser igual à x ao quadrado vezes o lnd 2 elevado ao cubo e 2 elevado ao cubo é igual a 8 nós vamos ter x ao quadrado vezes o lnd 8 isso de x não podemos esquecer do dx é que também não então nós temos esse xis ao quadrado de xis aqui que já temos aqui nessa parte certo a gente já consegue fazer uma substituição por esse deu uma quer dizer quase porque a gente ainda tem que se preocupar com esse lnd 8 aqui ea gente não tem esse lnd 8 aqui mas o que a gente poderia fazer para colocar um lnd 8 ac simples multiplicando dividindo por lnd 8 então a gente vai ter que o lnd 8 dividido pelo lnd 8 aí a gente já vai ter o lnd oito vezes x é um quadrado vezes de x que é igual ao de hu porém sln de 8 que está no denominador pelo fato de ser uma constante a gente pode colocar ele pra fora da integral assim a gente teria um sobre lm de oito vezes a integral de nn de oito vezes x ao quadrado vezes tudo isso aqui de x aí sim a gente pode substituir-se lnd 8x ao quadrado de x pelo deu então isso tudo aqui vai ser igual a 1 sobre o lnd oito vezes a integral de elevado a uepg agora fácil a gente consegue resolver essa integrava que com muita facilidade a integral de elevado o deu é igual a e levado ao mais uma constante então tudo isso vai ser igual a 1 sobre ele e de oito vezes e levado à u mais uma constante inclusive agora a gente já pode substitui esse o pelo que a gente já tinha antes assim toda essa expressão vai ser igual a um sub lnd oito vezes e elevado a u que a x elevado ao cubo viso ln de 2 e isso tudo mais uma constante beleza agora que já calculamos a integral indefinida a gente pode voltar que calculará integral definida com esses limites de integração então vamos copiar essa parte aqui e colocar aqui em baixo pra gente calcular isso lembrando que os nossos limites de integração aqui vai do zero até um então isso vai ser igual a essa integral aqui calculada nesse ponto 1 - essa integral calculada no ponto zero lembrando que a gente pode esquecer dessa constante porque ela vai acabar se anulando quando a gente fizesse a subtração então nós vamos ter apenas aqui um sobre o lnd oito vezes e elevado a um elevado ao cubo e um elevado ao cubo é igual a 1 vezes o lnd dois é igual a lnd 2 - tudo isso calculado no ponto zero então a gente vai ter um sobre o lnd oito vezes e levado a 0 elevado ao cubo vezes lnd dois é igual a zero isso vai ser igual a quanto elevado a lnd dois é igual a 2 e elevado a 0 é igual a um então nós vamos ter 2 sobre lnd 8 - um sobre lnd 8 que é igual a 1 sobre o logaritmo natural de 8 e essa daqui é a resposta da nossa integral definida então é integral definida com os limites de integração indo de 0 a 1 da função x ao quadrado vezes 2 elevado à x elevado ao cubo é igual a 1 sobre o lnd 8