Integral de cos^3(x)

RKA14C Vamos ver se podemos pegar a integral indefinida de cosseno de x³. Eu peço que agora pause o vídeo e veja se você consegue resolver sozinho. Assumindo que você pausou, acho que alguns conseguiram, mas outros devem ter ficado travados... Vamos pensar sobre isso. Ok, cosseno elevado a 3. Se eu tinha somente a derivada do cosseno aqui... Se eu tivesse 1 negativo de x, ou sen x aqui, talvez eu pudesse usar a substituição em u. Mas como eu consigo a antiderivada do cos x³? A saída é usar algumas identidades trigonométricas. E o que eu quero dizer com isso? Nós sabemos que sen² x + cos² x = 1. Se subtrairmos sen² dos dois lados, nós sabemos que cos² x = 1... Vou escrever dessa forma. É igual a 1 - sen² x. O que aconteceria se o cos³, que é cos² vezes cos... O que acontece se nós pegarmos o cos²? Vou reescrever aqui. Isto aqui é a mesma coisa que (cos x) vezes (cos² x) dx. E se nós pegássemos esta coisa aqui... Deixe-me fazer na cor magenta. E se nós pegarmos isto e trocarmos com isto? Eu sei o que você está pensando. O que isto fará por mim? Até parece que eu estou integrando ainda mais. Eu sei que parece que vai ficar mais complicado, mas assim que você explorar e brincar com isto, verá que isto torna a integral mais fácil. Vamos tentar! Se nós fizermos isto, então será igual a: ∫ (cos x) vezes (1 - sen² x) dx. E isto será igual ao quê? Isso será igual a... Deixe-me fazer isso de verde. Isso será igual a ∫ (cos x). Eu só vou distribuir o cos x. Então, fica assim: cos x menos cos x vezes sen² x. Então, eu posso fechar os parênteses e escrever o dx. Isto, é claro, será igual a: ∫ cos x dx... Nós sabemos o que será. Será menos ∫ cos x sen² x dx. Agora, vai ficar interessante. Esta parte aqui é muito conveniente. A antiderivada do cos x = sen x. Então, isto será sen x. Eu vou me preocupar com +C no final, porque ambas terão +C. Sendo assim, simplesmente coloco um grande +C no final. Isto é sen x. Então, o que está acontecendo aqui? Você deve reconhecer, eu tenho uma função do sen x. Eu estou pegando o sen x e elevando a 2. Então, tenho o seno dos x derivados aqui. Isso significa que eu tenho alguma derivada da função. Então, eu tenho outra... Acho que você pode dizer que eu tenho uma função desta função. Então, g(f(x)). Isto é sinal de que talvez a substituição por u esteja correta. Nós já vimos este padrão várias vezes! Poderíamos dizer: "Ok, se tivermos uma função de uma função, e se tivermos funções derivativas, essencialmente, podemos pegar a antiderivativa relacionada a esta função." Isto é igual a dizer que o G maiúsculo é a antiderivativa do g minúsculo. Então, G (f(x) + C. Agora, se o que eu disse não fez sentido, podemos fazer a substituição por u e seguir por ela passo a passo. Vamos fazer isso, porque quero que as coisas façam sentido. Esse é o propósito dos vídeos! Nós podemos dizer que u = sen x. Então, du = cos x dx. Esta parte e esta parte serão du. Então, isto será u². Isto será menos... Temos uma integral de u² du. Então, o que isto será? Nós vamos ter -u³/3, bem aqui. E nós sabemos o que é u: u = sen x. Nós temos o sen x para esta primeira parte da integral, para a primeira integral. Nós temos sen x, então, isso será menos... Deixe-me escrever assim: -1/3. Em vez de u³, nós sabemos que u = sen x, então, seno de x³. Agora, podemos colocar o +C. E acabamos! Nós calculamos a integral indefinida. A chave aqui é só brincar um pouco com as identidades trigonométricas para que possamos ter a integral em um ponto que possamos usar a regra da cadeia ou possamos usar a substituição por u, que é somente outra forma de expressar a regra da cadeia.