Resíduo de série alternada

RKA4JL - Vamos explorar as séries infinitas. Começamos em n igual a 1, iremos até o infinito, de -1ⁿ⁺¹ sobre n². Isso será igual a "a". Quando n é 1, isso será positivo, será 1. -1 sobre 2², que é 1/4, mais 1/9 menos 1/16 mais 1/25 (e eu estou indo bem longe) menos 1/36 mais 1/49 menos 1/64. Assim está bom. Vou parar por aqui, mas podemos continuar. Esta é uma série alternada: positivo, negativo, positivo, e continua infinitamente. Sabemos de testes anteriores, na verdade o teste da série alternada, que satisfaz as condições do teste e conseguimos mostrar que converge. O que estamos fazendo agora é estimar para o que isso converge. Queremos estimar o valor de S. Faremos isso por meio de um número finito de cálculos sem ter que somar todos esses termos. Vamos estimar pela soma parcial dos primeiros quatro termos. Pegaremos esses quatro termos e os chamaremos de S₄. Teremos um resto, que serão todos esses outros termos. Tudo isso. Não quero fechar essas chaves. E isso será o seu resto. Para calcular a soma, ela será o que sobrar depois de calcular a soma dos quatro primeiros termos. Irá do quinto termo até o infinito. Já vimos isso antes: a soma será igual a esta soma parcial mais o resto. Podemos calcular isso. O denominador comum é 9 vezes 16, 144. Será 144. Isso será (144 menos 36) sobre 144 mais 16 sobre 144, menos 9 sobre 144, isto é, (144 menos 36) sobre 16 é 20 negativo. Então temos 124 menos 9, que é 115. Tudo isso será 115 sobre 144. Nem usei uma calculadora. E isso mais algum resto. Se conseguirmos calcular alguns limites do resto, descobriremos os limites da nossa soma. Conseguiremos descobrir quão longe está isto disso aqui? Há dois jeitos de se pensar sobre isso. Vejamos. O primeiro que quero mostrar é que este resto será definitivamente positivo. Recomendo que você pause o vídeo e prove que este resto será positivo. Estou assumindo que você já tentou. Vamos escrever o resto. Escreverei aqui em cima. R₄ é 1/25. Não preciso escrever separadamente, posso mostrar aqui que isso será positivo. Como posso mostrar isso? Vamos colocar alguns parênteses aqui e colocar estes termos em pares. 1/25 menos 1/36. Isso será positivo e aquele, negativo e isso é positivo. Aqui você tem um termo positivo e subtrai disso um termo menor e negativo. Então isso será positivo. Se você colocar esses termos em pares, obterá uma série de termos positivos. Assim concluímos que "R sob 4", ou R₄, será maior do que zero. R₄ será maior do que zero. A outra coisa que eu quero provar é que o resto será menor do que o primeiro termo, que ainda não calculamos. O resto será menor do que 1/25. Mais uma vez recomendo que pause o vídeo e veja se consegue colocar parênteses de uma forma que consiga se convencer que toda esta soma, o resto, será menor do que o primeiro termo. Mais uma vez estou assumindo que você tentou. Então vamos escrever isso. Farei em rosa. O resto, quando calculamos a soma parcial dos primeiros quatro termos, é 1/25 menos 1/36 e colocarei os parênteses no segundo e no terceiro termo. Isso será (1/36 menos 1/49). E teremos -1/64. O próximo termo será 1 sobre (9)², que é 1/81. E continuamos assim infinitamente. Veja o que acontece: este termo é positivo, pois temos um número menor subtraído de um número maior. Este termo também é positivo. Começamos com um 1/25 e subtraímos um monte de coisas positivas. O resultado deve ser menor do que 1/25. R₄ será menor do que 1/25, ou podemos escrever R₄ menor que 0,04 e 0,04 é a mesma coisa que 1/25. Esse raciocínio é a base para a prova de teste de série alternada. Deveria estar orgulhoso. Isso será maior do que zero e é crescente, pois somamos mais termos, mas tem um limite superior. Está limitado a 1/25, que é uma boa indicativa de que isso será convergente. Mas não focaremos nisso. Vamos nos preocupar com este alcance. A soma é a soma destas duas coisas. A soma total será menor que 115 sobre 144 mais o limite superior de R₄, então mais 0,04. Isso será maior do que a nossa soma parcial, então mais zero, pois o resto será maior do que zero. Você poderá dizer que será maior do que a nossa soma parcial. Assim, calculando tudo à mão, conseguimos encontrar os limites dessa série infinita. Vamos usar a calculadora para entender um pouco melhor. Se calcularmos 115 dividido por 144, obteremos 0,79861, então 0,79861, que é menor do que S que também é menor do que isso, +0,04. Deixe-me escrever isso. +0,04. Obteremos 0,83861. Poderia ter feito isso de cabeça, mas resolvi usar uma calculadora. Usando um cálculo simples conseguimos aproximar o valor de S. Continuaremos trabalhando nisto, mas conseguimos entender um pouco da intuição por meio deste exemplo concreto. Quando se tem uma série alternada como esta, o tipo que satisfaz o teste da série alternada pode ser escrita como -1ⁿ⁺¹ ou -1ⁿ⁺¹ vezes uma série de termos positivos decrescentes, cujos limites tendem a zero e se aproximam do infinito. Não só essas séries convergem, como é possível estimar o erro com base no primeiro termo que não está incluído. Isto foi um exemplo e será diferente dependendo se o primeiro termo for negativo ou positivo, pois teremos que usar o valor absoluto, a magnitude. Mas o mais importante é que a magnitude do erro será a magnitude do primeiro termo que não tem na soma parcial.