Exemplo resolvido: resíduo de série alternada

RKA3JV - Temos aqui uma série infinita. -1 elevado a "n + 1" sobre √n. Eu gosto de escrever isto aqui na forma expandida, porque a gente consegue visualizar melhor. Vamos colocar aqui para "n = 1", vai ficar 1 + 1 = 2, -1² fica 1. √1 também é 1. Então, o primeiro termo deu 1. Agora, por causa deste -1 elevado a "n + 1", a gente vai ter sinais intercalados, então, o próximo sinal vai ser menos. E vai ficar 1/√2, então 1/√2. Depois, vai ser +1/√3. Depois, vai ser -1/√4 e isto continua assim por diante. Então, se a gente testar uma expressão deste tipo no teste de convergência de séries alternadas, a gente vai ver que esta série converge. Mas o objetivo deste vídeo não é discutir se ela converge ou não, e sim a gente quer tentar estimar para a qual valor esta série converge. Então, vamos dizer que esta série converge para um valor "S". Então, uma maneira de a gente fazer esta estimativa é a gente usar a soma parcial. Então, vamos dizer que S = Sk. É a soma dos "k" primeiros termos, ainda vai ter mais o resto. Então, aqui o que sobra depois que a gente separa estes "k" primeiros termos. O que eu vou perguntar aqui é o seguinte: qual o menor valor que a gente tem aqui para o "k" de modo que o módulo deste resto ainda assim seja menor ou igual a 0,001. Tente agora pausar este vídeo e relembrar o que a gente falou sobre séries alternadas, para ver se você consegue resolver sozinho. Muito bem, então vamos lá! A primeira coisa que a gente vai fazer aqui é tentar escrever a cara deste resto aqui. Então, vamos escrever o resto, ele vai ser, bom, o primeiro termo do resto vai ser o termo que aparece logo depois do termo de posição "k", então ele vai ser "k + 1". Eu vou colocar no lugar do "n", "k + 1". Este primeiro termo vai ficar -1 elevado a k + 1 + 1, vai ficar "k + 2". E aqui a gente vai dividir isto aqui por √n, a gente está colocando "k + 1". Mais o próximo termo, vai ficar -1 elevado a k + 2 + 1, vai ficar k + 3. Sobre, no lugar do "n" a gente está colocando o "k + 2". E a gente pode continuar isto aqui, assim por diante. Bom, o que a gente já viu no exemplo, que a gente vai usar agora e que a gente pode confirmar aqui de maneira pelo menos conceitual no final deste vídeo é o que algumas pessoas conhecem como teorema da estimativa do resto para séries alternadas. Que diz o seguinte: o valor absoluto, o módulo deste resto aqui tem que ser menor ou igual ao valor absoluto deste primeiro termo aqui. O primeiro termo aqui do resto é -1 elevado a "k + 2" sobre √k + 1. A gente tem que este resto, o módulo do resto, tem que ser menor ou igual do que este primeiro termo aqui em módulo. E a gente quer que isto aqui, na verdade, seja menor ou igual a, vamos colocar, a gente quer que isto aqui seja menor ou igual a 0,001. Bom, agora compensa de novo você pausar este vídeo e tentar ver se você consegue daqui para frente resolver isto sozinho. Então, supondo que você já tenha tentado, vamos lá! O que a gente quer fazer aqui é encontrar o valor mínimo do "k" para que satisfaça esta inequação aqui. Quando você olha aqui para dentro deste módulo, a gente tem -1 elevado a "k + 2". Isto aqui vai ficar fazendo o sinal ser positivo, uma hora negativo, vai ficar intercalando. Aqui embaixo a gente tem √k + 1. Como isto aqui é sempre positivo, esta parte de baixo vai ser sempre positiva. Então, não importa o que vai dar o sinal aqui em cima, se vai ser mais ou menos. Quando a gente tirar o módulo se a gente observar isto aqui, a gente pode dizer que isto aqui vai ser exatamente 1 sobre √k + 1. E a gente quer que isso aqui seja menor ou igual do que 0,001. Então, a gente quer resolver qual o valor do "k" que satisfaz esta inequação aqui. Bom, o que a gente pode fazer é o seguinte: vamos multiplicar dos dois lados por √k + 1. Então, a gente multiplica aqui por √k + 1 dos dois lados da inequação. Com isso, a gente vai conseguir tirar isto aqui do denominador. Como aqui eu tenho 0,001, isto aqui é um milésimo, eu vou multiplicar por mil também dos dois lados. E a gente consegue melhorar e simplificar mais ainda a nossa situação. Então, aqui estes dois vão cancelar, está multiplicando e dividindo pelo mesmo número, vai dar 1. Aqui 1 milésimo multiplicado por mil, isso aqui vai dar 1. Bom, então aqui vai ficar 1000 ≤ √k + 1. E aqui o que a gente pode fazer é, vamos elevar ao quadrado dos dois lados. Então, a gente vai ter 1000². O número de zeros aqui vai dobrar, então vai dar 1.000.000 menor ou igual do que a raiz quadrada ao quadrado, vai cancelar. Então, vai ficar k + 1. Então, agora, para a gente deixar o "k" sozinho, falta só a gente tirar 1 dos dois lados da nossa inequação. Do lado de cá 1 milhão menos 1 vai ficar 999.999. E isto tem que ser menor ou igual a "k + 1". Tiro 1, fica só "k". Então, a gente queria saber qual o menor valor do "k". E a gente encontrou que o "k" tem que ser maior ou igual a 999.999. Bom, se o "k" tem que ser maior ou igual a este cara e eu quero saber o menor possível, este cara aqui vai ser o menor valor que a gente pode usar, não é? Eu vou escrever isto aqui. Para que a gente tenha o resto, em módulo, menor que 0,001, a gente percebeu que o menor valor de "k" que faz isso é o "k" valendo 999.999. Mas vamos nos convencer de que isto aqui realmente acontece. Vamos nos convencer que o módulo do resto vai ficar menor ou igual do que este valor aqui que a gente estabeleceu no início do exercício. Quando a gente coloca o "k" valendo 999.999. Antes, então, de fazermos isto, eu vou pedir para você, de novo, pause o vídeo e veja se você consegue trabalhar nisto sozinho. Então, agora a gente vai reescrever isto aqui, só que expandindo este resto. Vamos vir aqui e fazer o seguinte. Bom, a gente tem que S = Sk. Então, vai ficar S999.999. E, agora, vai começar o resto. O nosso resto, o primeiro termo do resto é o termo que vem logo depois do termo 999.999. Então, a gente vai pegar 1 milhão. Voltando ali, quando a gente coloca 1 milhão no lugar do "n", vai ficar -1 elevado a 1.000.001. Como isto aqui vai ímpar, isto daqui vai dar menos. Dividido por √1.000.000. Vamos escrever aqui. Isto aqui vai ficar assim. O nosso primeiro termo vai dar menos. Vamos trocar a cor aqui. Nosso termo aqui vai dar menos. Agora, 1 / √1.000.000. E aí, o nosso próximo termo, como isto aqui é alternado, vai ser mais 1 / √1.000.001. Depois, vai ficar -1 / √1.000.002. Vamos escrever mais alguns termos aqui. Isto, 1/ √1.000.003. Mais um zero fica legal. 1 sobre, aqui, vai dar 1/√1.000.004. E a gente pode continuar isto aqui, assim por diante. Bom, legal! A gente quer mostrar agora que isto aqui, que este resto aqui fica menor do que o módulo deste cara aqui. Ele fica menor que este valor aqui, que este primeiro termo. É isso que a gente está interessado em mostrar. Mas como é que a gente pode fazer isto aqui? Primeiro, vamos observar aqui. O primeiro termo do nosso resto, que é este cara aqui, a gente conhece. Isto aqui é negativo, então é menos. √1.000.000 é 1000. 1 sobre 1000, isto aqui é 0,001. Este é o nosso primeiro termo, a gente já o conhece. Se eu colocar agora de maneira conveniente aqui em parênteses, assim, a gente vai colocar algumas parcelas aqui, a gente vai separar para somar aqui deste jeito. A gente vai perceber que dentro destes parênteses, a gente vai ter este cara maior que este. Então, isto aqui vai dar positivo. Este cara aqui vai ser maior que este, aqui vai dar positivo. A gente vai só criar parcelas positivas daqui para frente. Então, como a gente já começou em -0,001, e agora a gente só vai acrescentar parcelas positivas, o valor vai ser com certeza maior do que isto aqui. Para baixo disto aqui ele não fica. Então, -0,001, a gente não consegue fazer o resto ser menor do que este cara, porque daqui para frente só vai aumentar este valor. Entretanto, este valor não vai aumentar assim indefinidamente, assim ele vai explodir, não é? Ele também vai ficar preso em cima, ele vai ter este limite inferior aqui. Mas a gente vai encontrar um limite superior para ele também. Se a gente colocar agora parênteses aqui, de maneira adequada também, eu vou colocar agora os parênteses assim. Então, vamos criar novas parcelas aqui. Se a gente resolver fazer esta soma deste jeito, e aqui juntar estas parcelas, claro, continuar juntando aqui. Bom, aqui dentro agora você vai ter que este cara é menor que este. Então, agora isso aqui vão ser parcelas negativas. Então, agora, nosso resto é formado por várias parcelas negativas. Então, quer dizer que o nosso resto vai ter um valor negativo. Portanto, este resto não vai passar de zero, já que ele era um valor negativo, ele está preso ali limitado em cima por zero. Então, com certeza, ele é menor que zero. Bom, e o que a gente conseguiu foi mostrar que, por baixo, a gente tem um limite para este resto, que é -0,001 e por cima também está limitado por zero. A gente não consegue passar de zero. Portanto, o módulo do nosso resto vai ser menor ou igual a 0,001. Como a gente queria quando a gente colocar o "k = 999.999". Então, de fato, a gente tem que o módulo do nosso resto fica menor ou igual do que o módulo deste primeiro termo aqui que é -0,001.