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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 10: Limite de erro de séries alternadasExemplo resolvido: resíduo de série alternada
Como usar o resíduo de séries alternadas para aproximar a soma de uma série alternada de um dado erro vinculado.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Temos aqui uma série infinita. -1 elevado a "n + 1"
sobre √n. Eu gosto de escrever isto aqui
na forma expandida, porque a gente consegue
visualizar melhor. Vamos colocar aqui para "n = 1", vai ficar 1 + 1 = 2,
-1² fica 1. √1 também é 1. Então, o primeiro termo deu 1. Agora, por causa deste -1
elevado a "n + 1", a gente vai ter sinais intercalados, então, o próximo sinal vai ser menos. E vai ficar 1/√2, então 1/√2. Depois, vai ser +1/√3. Depois, vai ser -1/√4 e isto continua assim por diante. Então, se a gente testar
uma expressão deste tipo no teste de convergência
de séries alternadas, a gente vai ver que esta série converge. Mas o objetivo deste vídeo não é discutir se ela converge ou não, e sim a gente quer tentar estimar
para a qual valor esta série converge. Então, vamos dizer que esta série
converge para um valor "S". Então, uma maneira de
a gente fazer esta estimativa é a gente usar a soma parcial. Então, vamos dizer que S = Sk. É a soma dos "k" primeiros termos, ainda vai ter mais o resto. Então, aqui o que sobra depois que a gente separa
estes "k" primeiros termos. O que eu vou perguntar aqui
é o seguinte: qual o menor valor que
a gente tem aqui para o "k" de modo que o módulo deste resto ainda assim seja menor
ou igual a 0,001. Tente agora pausar este vídeo e relembrar o que a gente falou
sobre séries alternadas, para ver se você consegue
resolver sozinho. Muito bem, então vamos lá! A primeira coisa que
a gente vai fazer aqui é tentar escrever a cara deste resto aqui. Então, vamos escrever o resto, ele vai ser, bom, o primeiro
termo do resto vai ser o termo que aparece logo depois
do termo de posição "k", então ele vai ser "k + 1". Eu vou colocar no lugar do "n",
"k + 1". Este primeiro termo vai ficar -1 elevado a k + 1 + 1, vai ficar "k + 2". E aqui a gente vai dividir
isto aqui por √n, a gente está colocando "k + 1". Mais o próximo termo, vai ficar -1 elevado a k + 2 + 1, vai ficar k + 3. Sobre, no lugar do "n" a gente está
colocando o "k + 2". E a gente pode continuar isto aqui, assim por diante. Bom, o que a gente já viu no exemplo, que a gente vai usar agora e que a gente pode
confirmar aqui de maneira pelo menos conceitual
no final deste vídeo é o que algumas pessoas conhecem como teorema da estimativa do resto
para séries alternadas. Que diz o seguinte: o valor absoluto,
o módulo deste resto aqui tem que ser menor ou igual ao valor absoluto deste
primeiro termo aqui. O primeiro termo aqui do resto é -1 elevado a "k + 2"
sobre √k + 1. A gente tem que este resto,
o módulo do resto, tem que ser menor ou igual do que este primeiro
termo aqui em módulo. E a gente quer que isto aqui,
na verdade, seja menor ou igual a, vamos colocar, a gente quer que
isto aqui seja menor ou igual a 0,001. Bom, agora compensa de novo
você pausar este vídeo e tentar ver se você consegue
daqui para frente resolver isto sozinho. Então, supondo que você
já tenha tentado, vamos lá! O que a gente quer fazer aqui
é encontrar o valor mínimo do "k" para que satisfaça esta inequação aqui. Quando você olha aqui
para dentro deste módulo, a gente tem -1 elevado a "k + 2". Isto aqui vai ficar fazendo
o sinal ser positivo, uma hora negativo,
vai ficar intercalando. Aqui embaixo a gente tem √k + 1. Como isto aqui é sempre positivo, esta parte de baixo
vai ser sempre positiva. Então, não importa o que
vai dar o sinal aqui em cima, se vai ser mais ou menos. Quando a gente tirar o módulo se a gente observar isto aqui,
a gente pode dizer que isto aqui vai ser exatamente 1 sobre √k + 1. E a gente quer que isso aqui
seja menor ou igual do que 0,001. Então, a gente quer resolver
qual o valor do "k" que satisfaz esta inequação aqui. Bom, o que a gente pode
fazer é o seguinte: vamos multiplicar dos dois lados por √k + 1. Então, a gente multiplica aqui por √k + 1 dos dois lados
da inequação. Com isso, a gente vai conseguir
tirar isto aqui do denominador. Como aqui eu tenho 0,001, isto aqui é um milésimo, eu vou multiplicar por mil
também dos dois lados. E a gente consegue melhorar
e simplificar mais ainda a nossa situação. Então, aqui estes dois vão cancelar, está multiplicando e dividindo
pelo mesmo número, vai dar 1. Aqui 1 milésimo multiplicado por mil,
isso aqui vai dar 1. Bom, então aqui vai ficar 1000 ≤ √k + 1. E aqui o que a gente pode fazer é, vamos elevar ao quadrado dos dois lados. Então, a gente vai ter 1000². O número de zeros aqui vai dobrar,
então vai dar 1.000.000 menor ou igual do que a raiz quadrada
ao quadrado, vai cancelar. Então, vai ficar k + 1. Então, agora, para a gente
deixar o "k" sozinho, falta só a gente tirar 1
dos dois lados da nossa inequação. Do lado de cá 1 milhão menos 1
vai ficar 999.999. E isto tem que ser menor
ou igual a "k + 1". Tiro 1, fica só "k". Então, a gente queria saber
qual o menor valor do "k". E a gente encontrou que o "k" tem que ser
maior ou igual a 999.999. Bom, se o "k" tem que ser
maior ou igual a este cara e eu quero saber o menor possível, este cara aqui vai ser o menor valor que
a gente pode usar, não é? Eu vou escrever isto aqui. Para que a gente tenha
o resto, em módulo, menor que 0,001, a gente percebeu que o menor valor de "k"
que faz isso é o "k" valendo 999.999. Mas vamos nos convencer de que
isto aqui realmente acontece. Vamos nos convencer que
o módulo do resto vai ficar menor ou igual do que
este valor aqui que a gente estabeleceu no início do exercício. Quando a gente coloca o "k"
valendo 999.999. Antes, então, de fazermos isto, eu vou pedir para você,
de novo, pause o vídeo e veja se você consegue
trabalhar nisto sozinho. Então, agora a gente vai
reescrever isto aqui, só que expandindo este resto. Vamos vir aqui e fazer o seguinte. Bom, a gente tem que S = Sk. Então, vai ficar S999.999. E, agora, vai começar o resto. O nosso resto, o primeiro
termo do resto é o termo que vem logo depois
do termo 999.999. Então, a gente vai pegar 1 milhão. Voltando ali, quando a gente
coloca 1 milhão no lugar do "n", vai ficar -1 elevado a 1.000.001. Como isto aqui vai ímpar,
isto daqui vai dar menos. Dividido por √1.000.000. Vamos escrever aqui.
Isto aqui vai ficar assim. O nosso primeiro termo vai dar menos.
Vamos trocar a cor aqui. Nosso termo aqui vai dar menos. Agora, 1 / √1.000.000. E aí, o nosso próximo termo,
como isto aqui é alternado, vai ser mais 1 / √1.000.001. Depois, vai ficar -1 / √1.000.002. Vamos escrever mais
alguns termos aqui. Isto, 1/ √1.000.003. Mais um zero fica legal. 1 sobre, aqui, vai dar 1/√1.000.004. E a gente pode continuar isto aqui, assim por diante. Bom, legal! A gente quer mostrar agora
que isto aqui, que este resto aqui fica menor do que o módulo deste cara aqui. Ele fica menor que este valor aqui, que este primeiro termo. É isso que a gente está
interessado em mostrar. Mas como é que a gente
pode fazer isto aqui? Primeiro, vamos observar aqui. O primeiro termo do nosso resto, que é este cara aqui,
a gente conhece. Isto aqui é negativo, então é menos.
√1.000.000 é 1000. 1 sobre 1000,
isto aqui é 0,001. Este é o nosso primeiro termo,
a gente já o conhece. Se eu colocar agora de maneira
conveniente aqui em parênteses, assim, a gente vai colocar algumas parcelas aqui, a gente vai separar para
somar aqui deste jeito. A gente vai perceber que
dentro destes parênteses, a gente vai ter este cara
maior que este. Então, isto aqui vai dar positivo. Este cara aqui vai ser maior que este,
aqui vai dar positivo. A gente vai só criar parcelas positivas daqui para frente. Então, como a gente já começou em -0,001, e agora a gente só vai acrescentar
parcelas positivas, o valor vai ser com certeza
maior do que isto aqui. Para baixo disto aqui
ele não fica. Então, -0,001, a gente não consegue fazer o resto
ser menor do que este cara, porque daqui para frente
só vai aumentar este valor. Entretanto, este valor não vai
aumentar assim indefinidamente, assim ele vai explodir, não é? Ele também vai ficar
preso em cima, ele vai ter este limite
inferior aqui. Mas a gente vai encontrar um
limite superior para ele também. Se a gente colocar agora
parênteses aqui, de maneira adequada também, eu vou colocar agora os parênteses assim. Então, vamos criar novas parcelas aqui. Se a gente resolver fazer
esta soma deste jeito, e aqui juntar estas parcelas, claro, continuar juntando aqui. Bom, aqui dentro agora você vai
ter que este cara é menor que este. Então, agora isso aqui vão
ser parcelas negativas. Então, agora, nosso resto é formado
por várias parcelas negativas. Então, quer dizer que o nosso resto
vai ter um valor negativo. Portanto, este resto
não vai passar de zero, já que ele era um valor negativo, ele está preso ali limitado
em cima por zero. Então, com certeza,
ele é menor que zero. Bom, e o que a gente conseguiu
foi mostrar que, por baixo, a gente tem um
limite para este resto, que é -0,001 e por cima também está limitado por zero. A gente não consegue passar de zero. Portanto, o módulo do nosso resto
vai ser menor ou igual a 0,001. Como a gente queria quando
a gente colocar o "k = 999.999". Então, de fato, a gente tem
que o módulo do nosso resto fica menor ou igual do que o módulo
deste primeiro termo aqui que é -0,001.