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Transcrição de vídeo

vamos agora discutir mais um teste de convergência e esse teste aqui é conhecido como o teste das séries alternadas eu vou apresentar primeiro teste e em seguida a gente vai aplicar esse teste numa série qualquer como exemplo para que essa explicação fica um pouco mais concreta então digamos que a gente tem uma série infinita que vão escrever somatório aqui pra n igual a ca até infinita de a m então se a gente puder aqui cheguei a escrever se a eni ea gente conseguia que escrevesse a eni de que forma bom gente puder escrever o hn como sendo aqui - um elevado a ene vezes um bn ou se a gente puder reescrevesse a eni como sendo menos um elevado a eni mais 11 vezes um bn no qual esse bn aqui ó no qual esse bn aqui eu quero que ele seja maior ou igual quiser aqui quero que ele seja maior ou igual quiser pra todos os erros que a gente for usar aqui no nosso motor então pra todos os anos de karaté infinito aqui a gente vai ter bn maior igual quiser além disso nós vamos pedir mais uma coisa mas duas coisas aqui na verdade a gente vai querer que é o número 1 se a gente tiver o limite de quando o enem vai para o infinito dbn isso aqui a gente vai querer que de 01 um limite de bn quando ele vai para o infinito eu quero que seja 0 e além disso nós queremos outra coisa adicional que também são duas nós queremos aqui que a sequência bn essa seqüência que seja uma sequência de crescente então b crescente então assumindo que tudo isso aqui que a gente falou acontece isso aqui vai dizer pra gente que essa série c aqui que a gente tem hoje finalmente aqui somatório de n igual a ca até infinito de a m isso aqui vai tá então se acontecer tudo isso aqui que a gente pediu como então escolheu uma série a hipótese de aplicar esse teste vai colocar aqui somatório digamos que a gente vai fazer dna até 1 até infinito de -1 elevado a eni sobre n ta expandir isso aqui fica mais interessante colocar aqui no expoente mais um tom menos um elevado e mais um sobre bom quando a gente coloca em igual só que vai ficar dois então vai ficar menos um quadrado sobre um aqui então vai começar com um mas é uma série alternada então o cara vai ser o próximo vai ser - um sobre dois e depois vai ser mais um sobre três e depois vai ser - um sobre quatro ea gente pode continuar isso aqui sucessivamente pra sempre uma série infinita bom que a gente tem que fazer aqui agora vamos tentar ver se a gente consegue escrever ou a eni que eu vou pegar isso aqui é isso aqui vai ser o nosso a n então a gente pode escrever que a eni é igual a menos um elevado a eni mais um sobre n a gente pode reescrever esse cara que desse jeito aqui - um elevado a ele mais um vezes sobre n e fica claro aqui pra gente a gente vai ter que esse nosso carinho aqui ó esse aqui vai fazer o papel aqui do bn então isso aqui vai ser o nosso bem bom vamos ver agora a gente tem as outras restrições a que a gente precisa satisfazer a primeira coisa bem ele tem que ser maior ou igual quiser pra todos os caras que me interessam aqui no somatório então pra todos os genes de um até infinito e aqui como a gente tem bn aqui é um sobre n isso aqui claramente é maior ou igual quiser para todos os entes que eu vou usar aqui porque só tem números positivos aqui é de 1 até o infinito então isso aqui vai dar maior golpe 0 esse primeiro pedaço aqui fechou a gente tem que fazer é verificar também que o limite de bn quando ele vai preferir tem que ser zero num cálculo aqui que vai dar o limite de quando eu tenho e não entendendo é infinito de bnb é um sobre ele que dá o limite de 1 sobre ele quando ele vai para o infinito mostra que a 0 então esse aqui também nós já conseguimos garantir que está satisfazendo também essa restrição nós temos mais uma mão mais uma quinta para satisfazer é a sequência bn tem que ter uma seqüência de crescente então aqui bn é um sobre n e claramente a sequência bn é decrescente porque conforme a gente vai aumentando que o enem vai aumentar no denominador então o resultado aqui da inflação vai ficando cada vez menor então a gente pode escrever que claramente a gente tem bn vai ser uma sequência de crescente então o nosso já que a gente conseguiu mostrar tudo isso conseguimos satisfazer todas as exigências aqui no nosso teste das séries alternadas a gente pode concluir vir aqui a gente pode concluir então que essa série c e aqui do jeito que escreveu é igual a 1 até o infinito de -1 elevado a e mais um sobre m isso aqui vai convergir a gente já viu que essa série aqui a gente usa todos os termos aqui positivos a gente vai ter a série harmônica e a gente já viu que a série harmônica na verdade de verde agora a gente colocar esses negativos e criar uma série alternada com esses mesmos termos a gente vai ver que ela converse ea gente poderia ter usado aqui mostrado usado outras técnicas aqui pra gente mostrar que isso aqui com verde por exemplo poderia ter usado o teste da comparação do limite tal mas aqui o teste das séries alternadas é uma ferramenta acaba sendo muito poderosa porque ela ajuda a gente a provar que essa série de fato converge se você lembrar do teste da divergência ele serve para mostrar que uma série apenas de verde a gente tem aquele limite de a emi não vai pra 0 quando ele vai para o infinito então a série também de verdi ou seja a gente só pode usar quando a gente quer mostrar que algo de verdade o que a gente quer mostrar que algo conversa a gente pode tentar usar o teste das séries alternadas mais uma vez só lembrando que se uma dessas exigências aqui elas não forem satisfeitas não quer dizer que esta série vai divergir quer dizer apenas que a gente não pode usar esse teste para provar que essa série converge