Teste da série alternada

RKA8JV - Vamos, agora, discutir mais um teste de convergência, e este teste aqui é conhecido como o teste das séries alternadas. Eu vou apresentar primeiro o teste, e, em seguida, a gente vai aplicar este teste em uma série qualquer como exemplo, para que essa explicação fique um pouco mais concreta. Então, digamos que a gente tem uma série infinita aqui, vamos escrever. Somatório para "n = k" até infinito, de aₙ. Então, se a gente puder reescrever este aₙ, se a gente conseguir reescrever este aₙ, de que forma? Bom, se a gente puder escrever o aₙ como sendo (-1)ⁿ vezes um bₙ, ou, se a gente puder reescrever este aₙ como sendo (-1)ⁿ⁺¹ vezes bₙ, no qual este bₙ aqui, eu quero que ele seja maior ou igual a zero, então aqui eu quero que ele seja maior ou igual a zero para todos os "n" que a gente for usar aqui no nosso somatório, então, para todos os "n" de "k" até infinito aqui a gente vai ter "bₙ ≥ 0". Além disso, nós vamos pedir mais uma coisa, mais duas coisas aqui, na verdade. A gente vai querer, número 1, se a gente tiver o limite de quando o "n" vai para infinito de bₙ, isso aqui a gente vai querer que dê zero. Então, o limite de bₙ quando "n" vai para infinito, eu quero que seja zero. E além disso, nós queremos outra coisa adicional aqui também, são duas. Nós queremos que a sequência bₙ, que esta sequência aqui seja uma sequência decrescente. Assumindo que tudo isso aqui que a gente falou acontece, isso aqui vai dizer para a gente que esta sériezinha aqui que a gente tem originalmente aqui, somatório de "n = k" até infinito de aₙ, isso aqui vai convergir, tá? Então, ela converge, se acontecer tudo isso aqui que a gente pediu. Vamos então escolher uma série para a gente aplicar esse teste. Vou colocar aqui, somatório digamos que a gente vai fazer de "n" igual a 1 até infinito de -1ⁿ sobre "n". Vamos expandir isto. Bom, vamos fazer isto aqui ficar mais interessante, vamos colocar aqui no expoente "n + 1". Então (-1)ⁿ⁺¹/n. Bom, quando a gente coloca ''n = 1", isso aqui vai ficar 2, então vai ficar (-1)²/1. Isto aqui então vai começar com 1. Vai ser uma série alternada, então, o próximo cara vai ser menos 1/2 e depois vai ser mais 1/3 e depois vai ser menos 1/4, e a gente pode continuar isso aqui sucessivamente para sempre, uma série infinita. Bom, o que a gente tem que fazer aqui agora, vamos tentar ver se a gente consegue escrever o aₙ aqui. Vamos pegar isso. Isso aqui vai ser o nosso aₙ, então a gente pode escrever "aₙ = (-1)ⁿ⁺¹/n". A gente pode reescrever este cara aqui desse jeito. (-1)ⁿ⁺¹ vezes 1/n. E aí fica claro aqui para a gente, que a gente vai ter este nosso carinha aqui, este aqui, vai fazer o papel aqui do bₙ. Então, isto aqui vai ser o nosso bₙ. Bom, vamos ver agora se a gente tem as outras restrições aqui que a gente precisa satisfazer. Primeira coisa, bₙ tem que ser maior ou igual a zero para todos os caras que me interessam aqui no somatório, então, para todos os "n" de 1 até infinito. E aqui, como a gente tem bₙ, aqui é 1/n, isso aqui claramente é maior ou igual a zero, para todos os "n" que eu vou usar aqui, porque só tem números positivos, é de 1 até infinito, então, isto aqui vai dar maior ou igual a zero. Este primeiro pedaço aqui fechou. A gente tem que verificar também que o limite de bₙ quando "n" vai para infinito tem que ser zero. Vamos calcular aqui o que vai dar. O limite de quando eu tenho o "n" tendendo ao infinito de bₙ. bₙ é 1/n. Então, o que dá o limite de 1/n quando "n" vai para infinito? Bom, isso aqui dá zero. Então, este aqui também, nós já conseguimos garantir que está satisfazendo também esta restrição. Nós temos mais uma aqui ainda para satisfazer. A sequência bₙ tem que ser uma sequência decrescente, então, aqui bₙ é 1/n, e, claramente, a sequência bₙ é decrescente, porque conforme a gente aumenta o "n", vai aumentando o denominador, então, o resultado aqui da fração fica cada vez menor. Então, a gente pode escrever aqui que claramente a gente tem bₙ, vai ser uma sequência decrescente. Então, já que a gente conseguiu mostrar tudo isso, conseguimos satisfazer todas as exigências aqui do nosso teste das séries alternadas, a gente pode concluir, vamos vir aqui, a gente pode concluir, então, que esta sériezinha do jeito que a gente escreveu que é "n = 1" até infinito de (-1)ⁿ ⁺ ¹/n, isto aqui vai convergir. E a gente já viu que esta série aqui, se a gente usar todos os termos aqui positivos, a gente vai ter a série harmônica, e a gente já viu que a série harmônica, na verdade, diverge. Agora, se a gente colocar esses negativos e criar uma série alternada com esses mesmos termos, a gente vai ver que ela converge. E a gente poderia ter usado aqui outras técnicas, para a gente mostrar que isto aqui converge. Por exemplo, a gente poderia ter usado o teste da comparação do limite e tal, mas aqui, o teste das séries alternadas é uma ferramenta que acaba sendo muito poderosa, porque ela ajuda a gente a provar que esta série de fato converge. Se você lembrar do teste da divergência, ele serve para mostrar que uma série apenas diverge, então, se a gente tem lá que o limite de aₙ não vai para zero quando "n" vai para o infinito, então a série também diverge, ou seja, a gente só pode usar quando a gente quer mostrar que algo diverge. Se a gente quer mostrar que algo converge, a gente pode tentar usar o teste das séries alternadas. Mais uma vez, só lembrando que se uma dessas exigências aqui não forem satisfeitas, não quer dizer que esta série vai divergir, quer dizer apenas que a gente não pode usar esse teste para provar que esta série converge.