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Exemplo resolvido: teste da comparação direta

Transcrição de vídeo

vamos pensar na série infinita então temos n igual a 1 até o infinito de um sub 21 mas em o que vamos tentar fazer aqui é tentar provar se isso converge ou diverso e você pode imaginar baseado no contexto de onde este vídeo aparece na cana kadima que talvez utilizaremos o teste de comparação a qualquer momento se você sentir que consegue resolver isso até o fim sinta se à vontade para pausar o vídeo e resolver para ajudar a pensar sobre como resolver esta série vamos expandir um pouco vamos lá então temos se n igual a 11 sobre dois e levada a um igual a 2 mas um então isso será igual a um terço se n foi igual a 2 então teremos um sobre dois ao quadrado mais dois que será igual a um sexto se tivermos em igual a 3 aí ficaria um sobre dois ao cubo mais três que será igual a um onze avos se tivermos n igual a 4 então temos 11 sobre 2 a quarta mais quatro que será igual 11 20 aves e podemos continuar continuar bom parece que isso converge todos os termos são positivos estão ficando menores e menores bem rápido e se você olhar para o comportamento dos temos a medida que n fica maior e maior vemos que 2 elevado a eni irá crescer muito mais rápido do que ele esse tipo de comportamento comum sobre dois levado a eni é uma cópia de algo que podemos utilizar no teste da corporação deixam escrever isso temos então a série infinita dn até o infinito de um sobre dois elevado em quando n igual a 11 sobre dois elevada um igual a meio quando n igual a 21 sobre dois ao quadrado será igual a um quarto quando n foi igual a 3 temos 11 sobre dois ao cubo que será igual a um oitavo quando n foi igual a quatro teremos um sobre dois elevada a quarta que será igual a um dos 16 avos e podemos continuar continuar o que é interessante aqui é que conhecemos isto essa é uma série de o metro deixem ser mais claro esta coisa aqui é igual à soma de n igual a 1 até o infinito de meio elevado ainda logo como valor absoluto de meio é menor que 1 sabemos que essa série geométrica convés sabemos então que essa série converge e na verdade sabemos que juntas as duas séries têm tudo o que necessitamos para o teste de comparação vamos voltar o que escrevemos sobre o teste de comparação no teste de comparação temos duas séries todos os seus têrmos são maiores ou igual a zero esses temas são todos maiores quiseram e para os correspondentes temos de uma série devem ser todos maiores ou igual ao da outra série se olharmos aqui podemos considerar esta a nossa série verde esta é a nossa série infinita com temas de ar sob n e esta seria a nossa série coxa note que todos os seus temas são positivos e os termos correspondentes são maiores um terço é menor que meio um cesto é menor que um quarto e assim por diante e no caso um sobre dois n também será maior que 1 sobre dois n mas em isso levando em consideração os genes que estamos usando aqui então como sabemos que essa conversa pelo teste de comparação a série em questão também irá convergir