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Prova: série harmônica diverge

Demonstração de que a série harmônica 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ... realmente diverge, usando o teste da comparação direta. Esta prova é famosa pelo uso inteligente da manipulação algébrica!

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Aqui nós temos a figura de Nicole Oresme, que era um francês e no século 14 ele provou que essa série harmônica diverge ou, ela é divergente. Bom, como é que ele provou isso? É contra intuitivo, uma vez que você vê que cada termo posterior é menor do que o termo anterior. Então, você tem 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6... Então, significa que estes números vão diminuindo com a soma. E, intuitivamente, você pode pensar que ela deve ser convergente. Para provar que esta série é divergente, ele pegou uma série menor do que esta e provou que esta série, menor do que esta, era divergente. Então, se a série menor for divergente, significa que esta série harmônica é divergente também. O que ele fez? Ele pegou os termos. O primeiro termo mais os termos onde o denominador é potência de 2. Então, aqui você tem 1/2, uma potência de 2. Agora, você pode somar dois termos 1/3. Em vez de escrever 1/3, você vai escrever um cara menor, 1/4 + 1/4. Ou seja, 1/3 é maior do que 1/4, 1/4 é igual a 1/4. E você tem dois termos aqui escritos como 1/4. O próximo termo de 5 até 8, você tem 1/8, que é menor do que 1/5, mais 1/8, que é menor do que 1/6, mais 1/8, que é menor do que 1/7, mais 1/8 que é igual a 1/8. Mas, a próxima série seria 1/16. Aí, você tem 1/9 + 1/10 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16. Vai ter 8 termos de 1/16. E isso vai acontecendo durante a série toda. Ou seja, você pode escrever esta soma como sendo 1 + 1/2, estes dois termos escritos como 1/4, se você somar, você vai ter 1/2 novamente. Estes quatro termos de 1/8 você vai ter 1/2 novamente. Se você tem 8 termos de 1/16, você vai ter 1/2 novamente. Ou seja, este 1/2 vai ser constante. Ora, se ele vai ser constante, esta soma vai para infinito. E esta soma, que é menor do que a série harmônica, tende ao infinito. Então, a série harmônica tende ao infinito. Você tem aqui 1, aqui você tem 1. Você tem 1/2, aqui você tem 1/2. Você tem 1/4, e aqui você tem um 1/3, que é maior. 1/3 é maior do que 1/4. Aqui, você tem 1/4 que é igual a 1/4. Você vai ter 1/8 que é menor do que 1/5. 1/8 que é menor do que 1/6, 1/8 que é menor do que 1/7. E 1/8 que é igual a 1/8. Depois, você vai ter os termos sobre 16, que vai ficar 1/16 é menor do que 1/9. O próximo seria 1/16 que seria menor do que 1/10. 1/16 que seria menor do que 1/11. Depois, 1/16 que seria menor do que 1/12. 1/13, 1/14, 1/15, até você ter 1/16 que é igual a 1/16. Quando você junta estes termos, você sempre vai ter 1/2. Aqui, você tem o primeiro termo que é 1, depois você vai ter 1/2, depois 1/4 + 1/4 que vai dar 1/2, depois você vai ter 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 que vai dar 1/2. E depois, oito termos de 16, que vai dar 1/2. Depois, você vai ter 16 termos de 1/32 que vai ser 1/2 também. Então, significa que se "S" é divergente e "S" é menor do que a série harmônica de "n = 1" até infinito de 1/n. Isso significa que a série harmônica de 1 até infinito de 1/n é divergente. E eu espero que este vídeo tenha sido útil!