Exemplo resolvido: teste da comparação no limite

RKA8JV - Recebemos uma série aqui, e eles dizem: que série devemos usar no teste de comparação do limite para determinar se "S" converge? Então, lembremo-nos sobre o teste comparação de limites. Se dissermos que temos duas séries, eu vou usar essa notação, aₙ e depois a outra série, bₙ. Sabemos que aₙ e bₙ são maiores ou iguais a zero para todos os "n". Se sabemos isso, se o limite de "n" se aproxima do infinito de aₙ/bₙ é igual a alguma uma constante positiva. Então, a constante é maior do que zero e menor do que o infinito. Então, ambos convergem ou ambos divergem. E realmente faz muito sentido, porque está dizendo: olhe, enquanto entramos em nossos grandes valores de "n", como estamos muito longe de lá, em termos de, se nosso comportamento começa a parecer o mesmo, então, faz sentido que ambas as séries convirjam ou divirjam. Nós temos um vídeo introdutório sobre isso, é um outro vídeo. Então, vamos pensar sobre o que, se dissermos que este é o nosso aₙ, qual dessas séries nós realmente podemos comparar? Isso parece ter o mesmo comportamento de "n" quando é realmente grande? Bem, este parece simplesmente ficar sem limites, este não é tão parecido com a série "S". Tenho um "3ⁿ - 1" no denominador, mas o numerador não se comporta da mesma forma. Este aqui é interessante, porque poderíamos escrever isso. É igual à soma de "n = 1" para o infinito. Podemos escrever. Isto é 2ⁿ/3ⁿ. Estes são muito semelhantes, a única diferença entre isso e isto é que no denominador aqui ou no denominador aqui em cima nós temos um menos, e aqui embaixo nós não temos esse -1, e assim faz sentido dado que isso é apenas uma constante, que, como "n", é muito grande, que estes podem comportar-se da mesma forma. Então, vamos tentar e vamos encontrar o limite. Também sabemos que aₙ e bₙ, se dissermos que isto aqui é bₙ, nós dizemos que é bₙ, e isso vai ser positivo, ou isso será maior ou igual a zero para "n" igual a 1, 2, 3, portanto, para qualquer valor, isso será maior ou igual a zero. E o mesmo aqui, vai ser maior ou igual a zero para todos os "n" sobre os quais nos preocupamos. Então, encontramos esses primeiros constrangimentos, e então, vamos encontrar o limite quando "n" se aproxima do infinito de aₙ, que é, vou escrever naquela cor vermelha, é o limite de "n" tendendo a zero. de 2ⁿ/3ⁿ menos 1 sobre 2ⁿ/3ⁿ. Vamos usar um pouco de resolução algébrica por aqui. Isso vai ser o mesmo que 2ⁿ sobre 3ⁿ - 1 vezes 3ⁿ sobre 2ⁿ. Divido o numerador e os denominadores. Estes 2ⁿ vão se cancelar e assim isso nos dará: 3ⁿ/3ⁿ - 1. Podemos dividir o numerador e o denominador por 3ⁿ. Isso nos dará 1 sobre 1 - 1/3ⁿ. Então, podemos dizer que isso é o mesmo que o limite quando "n" se aproxima do infinito de 1 sobre 1 - 1/3ⁿ. Bem, ao que isso vai ser igual? Como isso se aproxima do infinito, esta coisa, 1/3ⁿ, isso vai só para zero, então, isto é, tudo isso vai abordar 1, e 1 é claramente entre zero e infinito. Então, os destinos dessas duas séries estão amarrados, ambos convergem ou ambos divergem. Então, esta é uma forma de usar o teste de comparação de limite. Vamos pensar sobre isso. Ambos convergem ou ambos divergem. Bem, esta é uma série geométrica. Nossa razão comum aqui é inferior a 1, então, isso vai convergir, porque pelo teste de comparação de limite, a nossa série original "S" converge. E finalizamos.