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Exemplo resolvido: teste da comparação no limite

Transcrição de vídeo

então recebemos uma série aqui e eles dizem que só devemos usar no teste comparação do limite para determinar se é se convergem então lembremo-nos sobre o teste comparação de limites se dissemos que temos duas séries eu vou usar essa notação ign e depois a outra série b n e sabemos que a nb em são maiores ou igual a zero para todos os n sabemos isso seu limite de n se aproxima do infinito de a eni sobre bn é igual uma constante positiva então a constante é maior do que zero é menor do que o infinito então ambos convergem o bancos divergem e realmente faz muito sentido porque está dizendo olhe enquanto entramos em nossos grandes valores dn como estamos muito longe de lá em termos de se nós comportamento começa a aparecer o mesmo então faz sentido que ambas as séries convirjam ou divergem e nós temos um vídeo introdutório sobre isso é um outro vídeo então vamos pensar sobre o que se dissemos que este é o nosso a n qual dessas séries nós realmente podemos comparar isso parece ter o mesmo comportamento n quando é realmente grande bem esse parece simplesmente ficar sem limites este não é tão parecido com a série s tenho 13 elevada a eni - um no denominador mas o numerador não se comporta da mesma forma este aqui é interessante porque poderíamos escrever isso é igual à soma de n igual a 1 para o infinito podemos escrever isto é 2 elevada em sobre três elevado a n estes são muito semelhantes a única diferença entre isso e isto é que no denominador aqui ou no denominador aqui em cima nós temos um - e aqui embaixo nós não temos esse menos um e assim faz sentido dado que isso é apenas uma constante que como n é muito grande que estes podem comportar-se da mesma forma então vamos sentar e vamos encontrar o limite e também sabemos que a eni e o bn temos que isso aqui é bn nós dizemos que é bn e isso vai ser positivo ao isso será maior ou igual a zero para n igual a um dois três portanto para qualquer valor isso será maior ou igual a zero e o mesmo aqui vai ser maior ou igual a zero para todos os genes sobre os quais nos preocupamos então encontramos esses primeiros constrangimentos e então vamos encontrar o limite quando ele se aproxima do infinito de a eni que é vou escrever aquela cor vermelha é o limite de entendendo a 0 d2 elevada a eni sobre três vai-vai da eni - um sobre dois elevada em sobre três é levado a ele vamos usar um pouco de resolução algébrica por aqui isso vai ser o mesmo que dois elevado a eni sobre três levado a eni - 11 vezes três elevada a eni sobre 2 e leva da eni devido o numerador e os denominadores esses dois leva da eni vão se cancelar e assim se nos dar a isso nos dará a 3 leva da eni sobre três leva da eni - 1 podemos dividir o numerador e um denominador por três elevada da m isso nos dará um sobre - um sobre três elevado a m então podemos dizer que isso é o mesmo que o limite quando em se aproxima do infinito de um sobre 1 - 1 sobre três elevado a eni bem o que isso vai ser igual como isso se aproxima do infinito essa coisa um sobre três elevado a eni isso vai só para zero então isto é tudo isso vai abordar um e um é claramente entre zero e infinito então então os destinos dessas duas séries estão amarrados ambos convergem ou ambos divergem então esta é uma forma de usar o teste de comparação de limite e então vamos pensar sobre isso ambos convergem ou ambos divergem bem esta é uma série geométrica nossa razão comum aqui é inferior a 1 então isso vai convergir porque pelo teste de comparação de limite a nossa série original é se converge e finalizamos