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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 14: Função como série geométricaFunção como série geométrica
Expressões na forma a/(1-r) representam a soma infinita de séries geométricas, cujo termo inicial é a e a razão constante é r, que é escrita como Σa(r)ⁿ. Como séries geométricas são uma classe de séries de potência, obtemos muito facilmente a representação de uma série de potências a/(1-r).
Quer participar da conversa?
- This aproximation works only if |x|<1 right?(1 voto)
- Yes, it's right. Sim. Isso mesmo. Essa série converge quando|-x³| < 1 ⇔ |x| < 1. Porque uma razão(q) com denominador maior que o numerador(|x| < 1) terá termos cada vez mais próximos de zero.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - O que está sendo pedido aqui é que você encontre uma série
de potências para "f", sendo f(x) = 6 / 1 + x³. Bom, como a gente quer uma
série de potências, você pode dizer: "vamos usar aqui a série de MacLaurin", já que a série de MacLaurin é um pouco
mais simples para a gente calcular, já que ela é centrada em "x = 0". E é o que a gente vai fazer. A gente vai vir aqui, pegar
essa função, avaliar em zero, pegar a derivada primeira desta
função e também avaliar em zero, pegar a elevada segunda dessa
função e também avaliar em zero, e continuar assim por diante. E aí a gente vai pegar a fórmula
da série de MacLaurin e fazer essa expansão. Entretanto, quando você
começar a fazer isso, você vai se complicar rapidinho. O que vai acontecer? Na verdade, avaliar essa
função "f" em zero é fácil, é simples, assim como avaliar a derivada
primeira desta função em zero também não vai trazer grandes problemas. Agora, quando a gente pegar a
derivada segunda dessa função e a derivada terceira desta
função para avaliar em zero, aí a gente vai se complicar rapidamente, e complica bastante. A gente pode tentar fazer
uma simplificação aqui. Digamos que vai fazer o seguinte, vamos achar a série de MacLaurin
para f(u) = 6 / 1 + u, no qual a gente tem aqui o u = x³. Então, a nossa ideia é: vamos
achar aqui a expansão de MacLaurin em função de "u", e depois a gente substitui por x³. De fato, isso aqui já vai dar uma
boa simplificada para a gente, e é uma outra maneira de a gente
fazer também essa aproximação. Mas a forma mais simples
de a gente fazer isso, dê uma olhada aqui
para esta expressão. Vê se você consegue se lembrar de
onde é que você já viu essa forma aqui. Bom, isso aqui está parecendo bastante com aquela forma que a gente usava para calcular soma de termos
de uma série geométrica. Vamos aqui relembrar como é que a soma de uma
série geométrica parece. Se a gente tiver aqui, então,
a + aq, mais, e aqui a gente tem,
o "a" é o primeiro termo e o "q" é a nossa razão, a gente vai sempre
multiplicando aqui por "q", então aqui vai ficar aq² mais aq³, e assim a gente vai continuar
para sempre, assim por diante. A gente sabe isto aqui que é
igual ao primeiro termo, então "a", sobre 1 menos a nossa razão. E aí, se você olhar aqui
para como a f(x) foi definida, a forma da f(x) e a forma de uma
soma de uma série geométrica são muito parecidas aqui, né,
elas são bem parecidas. Se a gente puder dizer
assim, bom, está vendo este 6 aqui? E se este 6 aqui o for o meu "a"? Certo? Vamos reescrever isso aqui. A gente vai reescrever aqui
como sendo 1 menos, digamos, menos x³. Então, se a gente fizer
essa reescrita aqui, olha o que vai dar para
a gente observar. É como se -x³ fosse aqui a nossa razão. Então aqui, a gente pode tentar
reescrever isso aqui como o "a" sendo 6 e a nossa razão sendo -x³. E aí você vai ver isso aqui fica muito
mais simples para a gente fazer. Então, o "a" é 6, vamos trocar aqui "a" por 6,
mais "aq", Bom, a razão aqui é -x³ e o "a" é 6, né, então,
isso aqui vai ficar -6x³, mais, agora a gente vai ter,
"a", continua sendo 6, vezes a razão ao quadrado. Quando eu faço (-x³)² eu estou elevando esse cara negativo
ao quadrado, e vai ficar positivo, então,
aqui vai dar mais. E aí vai ser (6x³)². (x³)² vai ficar x⁶. Então, isso aqui vai dar 6x⁶. Aí quando a gente fizer agora
o próximo termo, vai ser aq³. q³ aqui, a gente tem um
número negativo agora elevado a um expoente ímpar, que é 3. Isso aqui vai dar negativo. E aí a gente tem (x³)³. Isso vai dar x⁹, então vai ficar "a", que é 6x⁹. E aí se se eu continuasse
essa ideia aqui, também teria o próximo o termo,
que seria mais 6x¹², já dá até para a gente observar
um padrão aqui de construção disso, e a gente pode continuar aqui. Quantos termos a gente
quiser colocar aqui, isso vai assim por diante. Bom, mas o que eu quero
te dizer é o seguinte, aqui foi bem simples
de a gente fazer isso, porque a gente conseguiu
enxergar a nossa função f(x) aqui, a maneira como ela foi definida, como uma soma de uma série geométrica. E aí, aqui a gente tem isso aqui, é a expansão de MacLaurin, da série de MacLaurin,
para a nossa função f(x). O ponto era, que a gente não precisava
passar por todo aquele sofrimento para encontrar essa expansão se
a gente conseguisse perceber isso, que a gente poderia perceber isso como
a soma de uma série geométrica. E este aqui é um artifício
muito útil para a gente.