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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 2: Séries geométricas infinitas- Exemplo prático: séries geométricas convergentes
- Exemplo prático: séries geométricas divergentes
- Séries geométricas infinitas
- Problema de séries geométricas infinitas: bola quicando
- Problema de séries geométricas infinitas: dízima periódica
- Demonstração da fórmula da série geométrica infinita
- Séries geométricas convergentes e divergentes (com manipulação)
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Problema de séries geométricas infinitas: bola quicando
Veja como determinar a distância vertical total que uma bola quicando percorre, usando uma série geométrica infinita. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos supor
que eu tenha uma bola e eu a deixo cair
a partir de uma altura de dez metros. Vamos admitir que
assim que essa bola cai, ela quica e volta a subir
metade da distância que ela percorreu
na queda anterior. Então, se ela caiu
de uma altura de dez metros, ela bate no chão, quica
e volta a subir um pouquinho, que é exatamente
a metade da distância anterior, que é a metade de dez,
então cinco metros. Depois ela cai novamente ao chão, volta a subir metade da altura
de onde ela caiu anteriormente, que seria dois metros e meio,
e assim por diante. A pergunta é: qual é a distância vertical total
que essa bola vai percorrer? Organizando aqui, então, no momento que eu solto a bola,
ela percorre dez metros, mais... na hora que quicar no chão,
ela volta a subir cinco metros, que é a metade de dez. Só que ela desce novamente
cinco metros, então ela percorre cinco metros para cima
e cinco metros para baixo, de maneira que aqui
eu teria, então... Quando quica no chão, ela sobe
percorrendo 10 metros vezes um meio, metade de dez metros
para cima, mais 10 vezes ½, que é 5,
para baixo. Então, dez metros
da primeira queda, metade de dez para subir,
metade de dez para descer. Nesta próxima queda,
nesse próximo movimento, ela vai se movimentar
metade do anterior para cima e depois a mesma coisa para baixo,
e assim por diante. Se ela havia se movimentado
10 vezes ½ no momento anterior, agora ela vai se movimentar
10 vezes ½, que era o anterior, vezes ½ novamente. Então, (½)²,
para cima, e depois 10 vezes (½)²
para baixo. Isto continua
infinitamente, e esta soma pode ser
reorganizada. Temos aqui
o 10 inicial mais... Quando temos 10 vezes ½
mais 10 vezes ½ podemos escrever
como 20 vezes ½. Aqui neste outro momento temos
10 vezes (½)², mais 10 vezes (½)². É como 10x mais 10x igual a 20x. Então tenho mais 20 vezes (½)²,
e assim sucessivamente. Está montada aqui,
sem dúvida nenhuma, algo que parece muito
uma série geométrica. Entretanto,
existe um número 10 aqui que está descaracterizando
a série geométrica, porque eu não tenho o primeiro termo
com a razão elevada a zero. Ora, para solucionar este,
entre aspas, "problema", eu vou transformar
este número 10 em -10 mais 20. Este 10 é -10 mais 20. E este 20 está multiplicado por ½,
que é a razão que você já deve ter percebido,
elevado a zero. Continuando, eu tenho ainda
mais 20 vezes ½ elevado à primeira potência. Depois, mais 20 vezes (½)² mais 20 vezes ½
elevado à terceira potência, e assim sucessivamente. Isso pode ser escrito
na forma de uma somatória. Vou fazer aqui ao lado do diagrama
para aproveitá-lo. Somatória com K
indo de zero até infinito nos termos que têm
este padrão, que é o 20
multiplicado pela razão, ½, elevado ao expoente K. Isso que eu escrevi corresponde
ao que temos daqui em diante. Então, para reescrever
a soma toda, eu devo colocar aqui na frente -10
mais isto tudo. Vamos lembrar aqui
que, na série geométrica infinita, a somatória com K de zero a infinito de “a”,
que é o primeiro termo, vezes a razão
elevada ao expoente K quando a razão
tem módulo entre zero e um, isso resulta no primeiro termo
dividido por 1 menos a razão. Voltando aqui
para nossa somatória, veja que estou olhando
só para a somatória por enquanto. Esta somatória
é exatamente esta, mas no lugar do “a”
temos 20 e no lugar do "q", que é a razão,
temos ½. Então, o resultado dela é 20,
que é o primeiro termo, dividido por 1 menos a razão,
que é ½. Simplificando um pouquinho, nós temos 20 dividido por 1
menos ½, que é ½. Divisão de frações:
20 vezes o inverso da outra, 20 vezes 2 sobre 1.
20 vezes 2 dá 40. Então, voltando para cá, a distância total vertical percorrida
que é dada por esta conta é igual a -10 mais
o resultado da somatória, que é 40. E -10 mais 40
dá 30 metros, ou seja, nesta [história] de começar
caindo de uma altura de dez metros, quicando e voltando a subir
metade da distância da qual a bola caiu
anteriormente, infinitamente,
fazendo essa soma, todas essas viagens verticais da bola
totalizam uma distância de 30 metros. Aí está mais uma aplicação
da série geométrica infinita. Até o próximo vídeo!