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Exemplo prático: séries geométricas convergentes

Neste vídeo, calculamos a série geométrica infinita 8+8/3+8/9+... Como o valor absoluto da razão comum é menor que 1, a série converge para um número finito.

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Transcrição de vídeo

RKA2 - Vamos praticar um pouco calculando somas de séries geométricas infinitas. Nós temos aqui uma série geométrica. Só para ter certeza que se trata de uma série geométrica, vamos procurar qual é a razão. Então, aqui temos: do primeiro termo para o segundo, vamos multiplicar por 1/3. Do segundo para o terceiro, também vamos multiplicar por 1/3. Isso a gente vai continuar fazendo assim por diante, sucessivamente. Temos que o primeiro termo é 8, a razão é 1/3. Sabemos, então, que isso é uma série geométrica. Vamos reescrever? Podemos escrever isso como sendo igual a: o primeiro termo é 8, mais o segundo, que é 8 também, vezes a razão (vezes 1/3). Aí, o próximo termo vai ser: mais 8, vezes... Vai multiplicar de novo pela razão, então, vai ficar (1/3)². Isto a gente vai continuar fazendo para sempre, já que é uma série geométrica infinita. já que é uma série geométrica, podemos escrever isto. Vamos usar a notação de somatório. Isto vai ser igual a... Vou escrever aqui... Ao somatório... Aqui, tanto faz começar com k = 0 ou k = 1. Vamos começar com k = 0. Como isto é uma série infinita, vamos fazer até o infinito. Então, a gente vai pegar o primeiro termo, que está aqui, que é o 8. Vamos colocar aqui, 8 é o primeiro termo. Vezes a razão, que é 1/3, então vamos fazer vezes 1/3. E essa razão vai estar elevada a "k", que é o índice do somatório. Então, antes de fazer qualquer outra coisa, eu aconselho sempre que você teste isso e verifique, faça a conta para ver se realmente está descrevendo o que você tinha anteriormente. Vamos lá, quando gente colocar k = 0, isto vai ficar: para k = 0, 1/3 elevado a zero dá 1, vezes 8. Então, o primeiro termo está batendo quando a gente coloca k = 0. O próximo termo seria quando k = 1. Quando k = 1, vai ficar (1/3)¹, 8 vezes (1/3). Está aqui o segundo termo, bateu também. Próximo termo: k = 2. (1/3)², vezes 8. Está aqui, terceiro termo também está batendo. Então, realmente, isto, isto e isto são todos coisas iguais. Estamos escrevendo de maneiras diferentes, mas é a mesma coisa no fundo. Vamos relembrar, no vídeo que a gente fez para calcular a soma de séries geométricas infinitas. Vamos relembrar: se a gente tiver o somatório... Vamos pegar, digamos que de k = 0 até infinito, é uma série geométrica infinita. Vamos pegar aqui o primeiro termo, digamos que seja "a", vezes a razão, que vai ser "q", e essa razão vai estar elevada a "k", que é o índice do somatório. A gente sabe que isto converge, desde que o módulo da razão... Se o módulo da razão for menor que 1, a gente sabe que isto vai convergir. E, se ela converge, a gente deduziu a fórmula. Eu aconselho que você reveja essa aula, onde a gente fez a dedução da fórmula da soma de uma série geométrica infinita, e lá você vai relembrar isto para não ficar uma coisa estranha para você. Então, esta fórmula que eu deduzi (supondo que o módulo da razão é menor que 1, então isto vai convergir), isto vai dar: Vamos ter aqui em cima o primeiro termo, que é "a". Aqui embaixo vai ficar 1, menos a razão, então, 1 - q. No nosso caso, o primeiro termo é este cara aqui. É o 8. Aqui, a razão é 1/3. E repare: a razão, 1/3, o módulo dela é menor que 1. Então, a gente pode aplicar isto, que vai funcionar. Vamos colocar que isto vai ser igual a: o primeiro termo, quem é? É o 8. Sobre... Aqui vai ficar 1 menos a razão e a razão aqui é 1/3. Então, isto vai dar: 8 aqui em cima, dividido por 1 - 1/3, que vai ficar 2/3. Ou seja, vai dar 8 vezes... vamos inverter a fração de baixo, vai ficar 3/2. Então, vamos ter: 8 dividido por 2 dá 4, 4 vezes 3 é 12. Portanto, a gente tem que a soma desta série geométrica infinita vai convergir para 12.