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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 2: Séries geométricas infinitas- Exemplo prático: séries geométricas convergentes
- Exemplo prático: séries geométricas divergentes
- Séries geométricas infinitas
- Problema de séries geométricas infinitas: bola quicando
- Problema de séries geométricas infinitas: dízima periódica
- Demonstração da fórmula da série geométrica infinita
- Séries geométricas convergentes e divergentes (com manipulação)
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Séries geométricas convergentes e divergentes (com manipulação)
Neste vídeo, analisamos exemplos de três séries geométricas infinitas e determinamos se cada uma delas é convergente ou divergente. Para fazer isso, precisamos manipular as expressões para encontrar a razão comum. Versão original criada por Sal Khan.
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- "Série convergente" e "série divergente" são conceitos que se aplicam apenas em séries infinitas?(3 votos)
- Olá,
Toda série é infinita. Porém pode-se calcular a soma parcial dos n primeiros termos de uma série. Os termos "convergência" e "divergência" são usados quando temos (ou não) valores resultantes para a soma da série toda. :)(5 votos)
Transcrição de vídeo
RKA2G Temos aqui três diferentes séries geométricas
e vamos discutir a respeito da sua convergência. Uma série geométrica converge, grosseiramente falando, quando é possível obter o valor da sua soma. Na prática, já vimos que ela converge,
que conseguimos obter a soma da série geométrica, quando o módulo da razão é menor do que 1. Vamos analisar aqui esta série geométrica. Neste caso aqui, primeiro vamos lembrar
que 5ⁿ⁻¹ é a mesma coisa que 5ⁿ sobre 5¹, porque, na divisão, eu posso
conservar as bases e subtrair os expoentes. Reescrevendo lá em cima este trecho da expressão, eu tenho 5ⁿ sobre 5, vezes (9/10)ⁿ. Como 5ⁿ tem o mesmo expoente da fração, eu posso multiplicá-lo dentro dos parênteses. Ou seja, eu teria aqui 1/5. Estou separando
o 5ⁿ da fração daqui e colocando lá dentro. 1/5 vezes, dentro dos parênteses,
5 vezes 9 no numerador sobre 10, tudo elevado ao expoente "n". O 5ⁿ veio para dentro dos parênteses aqui. O outro 5 não, porque não estava com o expoente "n". O fato é o seguinte: simplificando mais um pouquinho, esta expressão fica: 1/5 vezes (45/10)ⁿ. 45/10 é a razão da progressão geométrica,
da série geométrica, porque é ele que está elevado ao expoente,
de acordo com a definição dos outros vídeos. Este número é maior do que 1,
portanto, esta série aqui diverge. Esta primeira série diverge. Vamos olhar para a próxima série. Vamos, também, trabalhar
com esta expressão da somatória. Primeira coisa: o 9ⁿ⁺² aqui no denominador. Vamos lá, reescrevendo: (3/2)ⁿ, vezes... Eu vou separar aqui o que tem
expoente "n" para juntar tudo lá. 9ⁿ⁺² é 9ⁿ vezes 9². Como este 9ⁿ tem o expoente "n", eu posso
colocar dentro dos parênteses, então, eu teria: 3 sobre 2 vezes 9, tudo elevado a "n" (veja o 9ⁿ, eu coloquei aqui porque
ele tinha o mesmo expoente), vezes 1 sobre 9². Resumindo aqui, trocando de ordem
na multiplicação não muda nada, 1 sobre 9² = 81, vezes (3 sobre 18)ⁿ. Meu objetivo, de novo, foi separar quem estava
elevado a "n" para identificar a razão. Neste, caso a razão é 3/18.
Isso é menor do que um inteiro, portanto, esta série aqui converge. Vamos marcar aqui: converge. Vamos para a terceira série. Reescrevendo esta parte da somatória
com o objetivo de separar quem aparece elevado a "n". Primeira coisa: multiplicação de frações.
Eu vou multiplicar numerador por numerador. 2ⁿ vezes 1 = 2ⁿ, sobre 3ⁿ⁻¹. Eu posso separar o denominador, repetindo aqui 2ⁿ e, aqui, 3ⁿ vezes 3⁻¹. Melhorando mais um pouco, eu tenho: 2ⁿ sobre 3ⁿ, vezes (estou separando as duas frações) 1 sobre 3⁻¹. Veja, eu separei daqui. Aqui existia um "vezes 1". Só simplificando mais um pouquinho: 1 sobre 3⁻¹ é 3¹. Se você inverte a fração, o expoente troca de sinal. E esta outra parte aqui, eu posso colocar
entre parênteses: (2/3)ⁿ. A razão, então, é 2/3 e 2/3 é menor que um inteiro, de modo que esta última série também converge. Por ora, o trabalho é este. Até o próximo vídeo!