Exemplo resolvido: teste da integral

RKA10MP – Vamos agora explicar para nós mesmos, de uma maneira mais formal, o teste da integral. Esse teste nos diz que se assumimos uma dada função f(x) se temos uma função f(x) que é positiva, contínua e decrescente em algum intervalo, incluindo “k” até o infinito, então podemos fazer uma entre duas afirmações. Podemos dizer que se a integral imprópria de “k” para o infinito de f(x) dx é convergente, então a soma, a série infinita de “n” é igual a “k” para infinito de f(n) também será convergente. E esse é o caso que vimos quando tínhamos 1 sobre n², mas vamos ver isso daqui a pouco. Mas a segunda afirmação que podemos fazer ou a segunda dedução que podemos fazer usando o teste da integral é se isso é o contrário. Se a integral de “k” para infinito, a integral imprópria de f(x) dx é divergente, portanto, a mesma afirmação verdadeira para as duas séries infinitas correspondentes. Então estas séries infinitas também serão divergentes. E como já mencionei no último vídeo, já vimos isso no caso de f(x) igual a 1 sobre (x²). Vimos que desde que a integral de 1 ao infinito de 1 sobre (x²) dx é convergente, e em verdade, é igual a 1. Por isso, podemos dizer que a soma de “n” é igual a 1 até o infinito de 1 sobre n². Por isso, podemos dizer que a soma de “n” é igual a 1 até o infinito de 1 sobre n² também é convergente. E agora podemos ver um exemplo em que seguimos o caminho contrário. Por exemplo, sabemos que esta integral, deixe-me escrever a integral. Começando com a integral de 1 para o infinito, mas não de f(x) é igual a 1 sobre x². Mas digamos que f(x) é igual a 1 sobre “x”. Vou escrever aqui, começando com f(x) é igual a 1 sobre “x” isso, sem dúvida, é positivo. E digamos que consideremos isso no intervalo de 1 para o infinito. Portanto, segue a primeira restrição, e nesse intervalo 1 sobre “x” é positivo, é contínuo e é decrescente. Cada vez que “x” aumenta f(x) diminui. Vamos ver qual seria a integral imprópria de 1 ao infinito disso. Se vamos de 1 ao infinito de 1 sobre “x”, 1 sobre “x” dx é igual a… Podemos escrever isso como um limite. Quanto mais “t” se aproxima do infinito da integral definida de 1 para “t” de 1 sobre “x” dx, o que é igual ao limite quando “t” se aproxima do infinito. Pegamos a antiderivada, que será o logaritmo natural de “x” de 1 até “t”. Na verdade, é o valor absoluto de “x”, mas estamos tratando de “x” positivo aqui, então será apenas o logaritmo natural de “x”, que é igual ao limite de “t” para o infinito do logaritmo natural de “t”. Ou poderia dizer do logaritmo natural do módulo de “t”, que será o logaritmo natural de “t” porque “t” é positivo, menos o logaritmo natural de 1. O log de 1 é zero. Portanto, é apenas o logaritmo natural de “t”. O limite disso vai para o infinito, mas este, ao se aproximar do infinito, será ilimitado. Isso também vai para o infinito, isso daqui é divergente, logo isso aqui é divergente, e porque isso é divergente, podemos dizer que pelo teste da integral nossa função neste intervalo é positiva, contínua e decrescente. Vimos que esta integral imprópria é divergente e ainda não provei isso rigorosamente, mas espero ter dado uma boa justificativa no vídeo anterior, que a série infinita de “n” igual a 1 para o infinito de 1 sobre “n”, que é a série harmônica, que isso também é divergente. Já mostramos que a série harmônica é divergente usando aquela bonita e elegante prova de Oresme. Devo estar falando o nome errado, então usei o teste da comparação. Mas agora usamos o teste da integral para mostrar que também é divergente. Mais uma vez, vamos lembrar qual é toda a motivação do teste da integral. Vou desenhar que f(x) é igual a 1 sobre “x”, então f(x) é igual a 1 sobre “x” e vai se parecer com… Digamos que isso é 1, 2, 3 e isso é 1, 2. Vejamos, quando “x” é 1 f(x) é 1, quando “x” é 2, f(x) é ½ ou ⅓, se é ½ será sobre 2 aqui. Parece com isso, então isso é f(x) igual a 1 sobre “n” mais uma vez o intervalo que interessa de 1 a infinito. Definitivamente, é positivo, contínuo e decrescente. E se olharmos para esta soma, poderemos vê-la como a soma de “n” igual a 1 para o infinito de 1 sobre “n” é igual a 1 mais ½, mais ⅓. E é claro, seguimos assim mais e mais. Neste caso, como queremos mostrar que é divergente, dizemos: "Vejam só, isso é a sobrestimação desta área." Vamos ser bem claros, temos esta área, temos esta área em verde, que é o que a integral imprópria está representando. Ela é a integral imprópria de 1 para o infinito, de 1 sobre “x” dx. Você pode ver isso como a sobrestimativa daquela área, então, primeiro, isso bem aqui pode-se dizer que é esta, é uma altura disso vezes a largura. Portanto, é este bloco que esta área é igual àquela e será igual a 1, logo esta aqui é ½. Podemos ver a área do próximo bloco, você pode ver isso como a soma de Riemann à esquerda, acho que é uma forma de pensar sobre isso. E então ⅓ será igual a este. E notei que eles todos, a área com a que nos importamos, a integral imprópria, está toda contida nestes blocos. Então isso será uma super, será uma maior estimativa do que isso. Mas já vimos que isto é indeterminado para infinito, isto é, divergente. Então se isto é maior que isto e isto é divergente, isto vai ao infinito. Logo isto também deve ir ao infinito e é exatamente daqui que o teste da integral está vindo.