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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 4: Teste da integralExemplo resolvido: teste da integral
Veja como o teste da integral é usado para determinar se uma progressão converge ou diverge.
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Transcrição de vídeo
RKA10MP – Vamos agora explicar
para nós mesmos, de uma maneira mais formal,
o teste da integral. Esse teste nos diz que
se assumimos uma dada função f(x) se temos uma função f(x)
que é positiva, contínua e decrescente em algum intervalo,
incluindo “k” até o infinito, então podemos fazer uma
entre duas afirmações. Podemos dizer que se a integral
imprópria de “k” para o infinito de f(x) dx é convergente,
então a soma, a série infinita de “n” é igual a “k” para infinito
de f(n) também será convergente. E esse é o caso que vimos quando tínhamos
1 sobre n², mas vamos ver isso daqui a pouco. Mas a segunda afirmação que podemos fazer
ou a segunda dedução que podemos fazer usando o teste
da integral é se isso é o contrário. Se a integral de “k” para infinito,
a integral imprópria de f(x) dx é divergente, portanto, a mesma afirmação verdadeira
para as duas séries infinitas correspondentes. Então estas séries infinitas
também serão divergentes. E como já mencionei
no último vídeo, já vimos isso no caso de f(x)
igual a 1 sobre (x²). Vimos que desde que
a integral de 1 ao infinito de 1 sobre (x²) dx é convergente,
e em verdade, é igual a 1. Por isso, podemos dizer que a soma de “n”
é igual a 1 até o infinito de 1 sobre n². Por isso, podemos dizer
que a soma de “n” é igual a 1 até o infinito de 1 sobre n²
também é convergente. E agora podemos ver um exemplo
em que seguimos o caminho contrário. Por exemplo, sabemos que esta integral,
deixe-me escrever a integral. Começando com a integral
de 1 para o infinito, mas não de f(x) é igual a 1 sobre x². Mas digamos que f(x) é igual
a 1 sobre “x”. Vou escrever aqui, começando com f(x) é igual a 1 sobre “x”
isso, sem dúvida, é positivo. E digamos que consideremos isso
no intervalo de 1 para o infinito. Portanto, segue a primeira
restrição, e nesse intervalo 1 sobre “x” é positivo,
é contínuo e é decrescente. Cada vez que “x” aumenta f(x) diminui. Vamos ver qual seria a integral
imprópria de 1 ao infinito disso. Se vamos de 1 ao infinito de 1 sobre “x”, 1 sobre “x” dx é igual a…
Podemos escrever isso como um limite. Quanto mais “t” se aproxima do infinito
da integral definida de 1 para “t” de 1 sobre “x” dx, o que é igual ao limite
quando “t” se aproxima do infinito. Pegamos a antiderivada, que será
o logaritmo natural de “x” de 1 até “t”. Na verdade, é o valor
absoluto de “x”, mas estamos tratando
de “x” positivo aqui, então será apenas
o logaritmo natural de “x”, que é igual ao limite de “t” para
o infinito do logaritmo natural de “t”. Ou poderia dizer do logaritmo natural
do módulo de “t”, que será o logaritmo natural
de “t” porque “t” é positivo, menos o logaritmo natural de 1.
O log de 1 é zero. Portanto, é apenas
o logaritmo natural de “t”. O limite disso vai para o infinito,
mas este, ao se aproximar do infinito,
será ilimitado. Isso também vai para o infinito,
isso daqui é divergente, logo isso aqui é divergente, e porque isso é divergente, podemos
dizer que pelo teste da integral nossa função neste intervalo
é positiva, contínua e decrescente. Vimos que esta integral
imprópria é divergente e ainda não provei isso rigorosamente, mas espero ter dado uma boa
justificativa no vídeo anterior, que a série infinita de “n” igual
a 1 para o infinito de 1 sobre “n”, que é a série harmônica,
que isso também é divergente. Já mostramos que a série harmônica
é divergente usando aquela bonita
e elegante prova de Oresme. Devo estar falando o nome errado,
então usei o teste da comparação. Mas agora usamos o teste da integral
para mostrar que também é divergente. Mais uma vez, vamos lembrar qual é toda
a motivação do teste da integral. Vou desenhar que
f(x) é igual a 1 sobre “x”, então f(x) é igual a 1 sobre “x”
e vai se parecer com… Digamos que isso
é 1, 2, 3 e isso é 1, 2. Vejamos, quando “x” é 1 f(x) é 1, quando “x” é 2, f(x) é ½ ou ⅓,
se é ½ será sobre 2 aqui. Parece com isso,
então isso é f(x) igual a 1 sobre “n” mais uma vez
o intervalo que interessa de 1 a infinito. Definitivamente, é positivo,
contínuo e decrescente. E se olharmos para esta soma,
poderemos vê-la como a soma de “n” igual a 1 para
o infinito de 1 sobre “n” é igual a 1 mais ½, mais ⅓. E é claro, seguimos
assim mais e mais. Neste caso, como queremos mostrar
que é divergente, dizemos: "Vejam só, isso é a sobrestimação
desta área." Vamos ser bem claros,
temos esta área, temos esta área em verde, que é o que
a integral imprópria está representando. Ela é a integral imprópria de 1
para o infinito, de 1 sobre “x” dx. Você pode ver isso como
a sobrestimativa daquela área, então, primeiro, isso bem
aqui pode-se dizer que é esta, é uma altura disso
vezes a largura. Portanto, é este bloco
que esta área é igual àquela e será igual a 1,
logo esta aqui é ½. Podemos ver a área do próximo bloco, você pode ver isso como
a soma de Riemann à esquerda, acho que é uma forma de pensar sobre isso.
E então ⅓ será igual a este. E notei que eles todos, a área
com a que nos importamos, a integral imprópria, está
toda contida nestes blocos. Então isso será uma super,
será uma maior estimativa do que isso. Mas já vimos que isto é indeterminado
para infinito, isto é, divergente. Então se isto é maior que isto
e isto é divergente, isto vai ao infinito. Logo isto também deve ir ao infinito e é exatamente daqui
que o teste da integral está vindo.