Teste da integral

RKA2G - Exploremos agora um pouco as séries infinitas de n = 1 ao infinito de 1/n² que, obviamente, é igual a 1 + 1/4, isto é, (1/2)², mais (1/3)², que é 1/9, mais 1/16, e assim continua indefinidamente. Há uma lista coisas que sabemos a respeito dela. Primeiramente: todos os seus termos são positivos. Todos os termos aqui são positivos e estão diminuindo. Parece que eles estão decrescendo rapidamente, de 1 para 1/4 para 1/9 para 1/16. Eles estão rapidamente se aproximando de zero, o que é um bom indicativo de que esta expressão possivelmente convirja. E porque todos eles são positivos, sabemos que esta soma, se convergir, será maior que zero. O único motivo pelo qual ela não convergiria é se, de algum modo, ela continuasse ilimitada rumo ao infinito, que sabemos, se fosse 1/n, seria ilimitada rumo ao infinito. Isso mostra que há uma possibilidade aqui. Se pudéssemos mostrar que isto tem limite, haverá um bom argumento de por que isto converge. Já que a única razão pela qual isto divergiria é se você fosse para mais ou menos infinito. Sabemos que isto não irá para menos infinito, dado que todos os termos são positivos. Ou poderia divergir se ela oscilar, Isto não vai oscilar, já que todos os termos estão sendo adicionados à soma. Nenhum deles está sendo subtraído, pois não há termos negativos. Vejamos se encontramos um bom argumento do porquê de esta soma não ter limite. Particularmente, se descobrirmos um limite, esse seria um bom argumento para dizer que esta série infinita deve convergir. A forma como faremos isso é explorar uma função relativa a esta. Fu quero explorar f(x) = 1/x². Você pode ver isto, 1/n², como f(n), se eu fosse escrever desta forma. Por que isto é interessante? Façamos um gráfico. Este é o gráfico de y = f(x). Note que esta é uma função decrescente contínua, pelo menos no intervalo que nos interessa. Digamos que, para valores positivos de "x", é uma função positiva decrescente e contínua. O interessante é que nós podemos usar isso como uma subestimativa para esta área. O que eu quero dizer com isso? Primeiramente, este é o primeiro termo. Você poderia considerar isso como a área deste bloco. Isto é f(n), ou "f" de 1 de altura e 1 de largura, que é 1 vezes 1 sobre 1², ou 1. Deixe-me assegurar de que estou usando cores diferentes. Este termo poderia representar a área deste bloco, que é 1/4 de altura e 1 de largura, que tem uma área de 1/4. O que este poderia representar? Bem, a área do próximo bloco, se estamos tentando estimar a área abaixo da curva. Talvez isso lhe pareça familiar de quando fomos apresentados à integral, ou antes disso, quando estávamos calculando a soma de Riemann. Esta parte aqui, esta área, será igual a 1/9. O intrigante a respeito disso é que sabemos como encontrar a área exata, ou a área exata de 1 ao infinito de "x". Talvez possamos usar isso de alguma forma. Sabemos qual é esta área, que podemos chamar de integral imprópria de 1 ao infinito de f(x) dx. Nós sabemos como calcular isto e mostraremos logo. Sabendo o que é isto e conhecendo o valor, temos um limite superior para 1/4 + 1/9 + 1/16 e assim por diante. Isso nos permitiria limitar o resultado desta série. E, como dissemos anteriormente, será um ótimo argumento para sua convergência. Não estou apresentando uma prova rigorosa, mas espero que você compreenda conceitualmente um teste bastante popular para convergência ou divergência, chamado "teste integral". Deixe-me escrever para que você saiba para quê isto serve. O que eu quero dizer com isto? Vou reescrever esta soma de outra forma. A série original de "n" igual a 1 ao infinito de 1/n² será igual à área deste primeiro bloco, mais a área do resto dos blocos, que é 1/4 + 1/9 + 1/16... Vou fazer isto de outra cor... Que nós poderíamos escrever como a soma de "n"... Como a soma de "n" igual a 2 ao infinito de 1/n². Estou apenas expressando isto como a soma disto mais tudo isto. O interessante é que isto, que acabo de escrever em azul, é este bloco, mais este bloco, mais o próximo bloco, que será menor do que a integral definida aqui. Note que esta integral definida é uma subestimativa. Ela está sempre abaixo da curva. Ela será menor que aquela integral definida. Poderemos escrever que isto será menor do que 1, mais... no lugar de escrever isto, vamos escrever isto. 1 mais a integral definida de 1 ao infinito de 1/x² dx. Por que isto é útil? Porque sabemos como avaliar. Eu te encorajo a revisar a seção da Khan Academy sobre integrais impróprias, se isto não lhe parece familiar. Mas eu vou resolver isto aqui embaixo. Sabemos que isto é o mesmo que o limite. Vou introduzir uma variável aqui. "t" tendendo ao infinito da integral definida de 1 a "t" de x⁻² dx, que é igual ao limite, quando "t" tende ao infinito, de -x a -1. Podemos escrever -(1/x). Vamos calcular isto em "t" e em 1, que é igual ao limite de "t" tendendo ao infinito de -1/t, menos 1/1, que resulta em +1. Quando "t" se aproxima do infinito, este termo será zero. Então, isto simplificará para 1. Esta coisa toda aqui é 1. Desta forma, somos capazes de calcular um limite superior para esta série. Podemos dizer que a série em questão, a soma infinita de "n" igual a 1 ao infinito de 1/n², será menor que 1 + 1. Ou seja, menor que 2. Outra forma de pensarmos a respeito seria pensarmos que 2 é esta área mais esta área. Estamos dizendo que esta soma é menor que 2. Assim, definimos um limite superior. Ela não será "menos infinito". E, já que todos os termos são positivos, sabemos que a soma não oscilará entre dois valores. Desta forma, isso nos dá uma boa impressão de que esta série converge. A lógica que usamos aqui para convencer por que a série converge, novamente, esta não é uma prova rigorosa, mas é a lógica subjacente do teste integral.