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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 4: Teste da integralTeste da integral
O teste da integral nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a a uma integral imprópria, algo que já sabemos encontrar. Saiba como isso funciona neste vídeo.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Exploremos agora um pouco as séries infinitas de n = 1 ao infinito de 1/n² que, obviamente, é igual a
1 + 1/4, isto é, (1/2)², mais (1/3)², que é 1/9, mais 1/16, e assim continua indefinidamente. Há uma lista coisas que sabemos
a respeito dela. Primeiramente: todos os seus termos
são positivos. Todos os termos aqui são positivos
e estão diminuindo. Parece que eles estão decrescendo
rapidamente, de 1 para 1/4 para 1/9 para 1/16. Eles estão rapidamente se aproximando de zero, o que é um bom indicativo de que esta
expressão possivelmente convirja. E porque todos eles são positivos, sabemos que esta soma, se convergir,
será maior que zero. O único motivo pelo qual
ela não convergiria é se, de algum modo, ela continuasse
ilimitada rumo ao infinito, que sabemos, se fosse 1/n, seria
ilimitada rumo ao infinito. Isso mostra que há uma possibilidade aqui. Se pudéssemos mostrar que isto tem limite, haverá um bom argumento
de por que isto converge. Já que a única razão pela qual isto divergiria é se você fosse para mais ou menos infinito. Sabemos que isto não irá
para menos infinito, dado que todos os termos são positivos. Ou poderia divergir se ela oscilar, Isto não vai oscilar, já que todos os termos
estão sendo adicionados à soma. Nenhum deles está sendo subtraído, pois não há termos negativos. Vejamos se encontramos um bom argumento
do porquê de esta soma não ter limite. Particularmente, se descobrirmos um limite, esse seria um bom argumento para dizer
que esta série infinita deve convergir. A forma como faremos isso é explorar
uma função relativa a esta. Fu quero explorar f(x) = 1/x². Você pode ver isto, 1/n², como f(n), se eu fosse escrever desta forma. Por que isto é interessante?
Façamos um gráfico. Este é o gráfico de y = f(x). Note que esta é uma função
decrescente contínua, pelo menos no intervalo que nos interessa. Digamos que, para valores positivos de "x", é uma função positiva decrescente
e contínua. O interessante é que nós podemos usar isso
como uma subestimativa para esta área. O que eu quero dizer com isso? Primeiramente, este é o primeiro termo. Você poderia considerar isso como
a área deste bloco. Isto é f(n), ou "f" de 1 de altura e 1 de largura, que é 1 vezes 1 sobre 1², ou 1. Deixe-me assegurar de que estou
usando cores diferentes. Este termo poderia representar
a área deste bloco, que é 1/4 de altura e 1 de largura, que tem uma área de 1/4. O que este poderia representar? Bem, a área do próximo bloco, se estamos tentando estimar
a área abaixo da curva. Talvez isso lhe pareça familiar de quando
fomos apresentados à integral, ou antes disso, quando estávamos
calculando a soma de Riemann. Esta parte aqui, esta área,
será igual a 1/9. O intrigante a respeito disso é que sabemos
como encontrar a área exata, ou a área exata de 1 ao infinito de "x". Talvez possamos usar isso de alguma forma. Sabemos qual é esta área, que podemos chamar de integral imprópria
de 1 ao infinito de f(x) dx. Nós sabemos como calcular isto
e mostraremos logo. Sabendo o que é isto e conhecendo o valor,
temos um limite superior para 1/4 + 1/9 + 1/16 e assim por diante. Isso nos permitiria limitar
o resultado desta série. E, como dissemos anteriormente, será
um ótimo argumento para sua convergência. Não estou apresentando uma prova rigorosa, mas espero que você compreenda
conceitualmente um teste bastante popular para convergência ou divergência, chamado "teste integral". Deixe-me escrever para que você saiba
para quê isto serve. O que eu quero dizer com isto? Vou reescrever esta soma de outra forma. A série original de "n" igual a 1
ao infinito de 1/n² será igual à área deste primeiro bloco, mais a área do resto dos blocos, que é 1/4 + 1/9 + 1/16... Vou fazer isto de outra cor... Que nós poderíamos escrever
como a soma de "n"... Como a soma de "n" igual a 2 ao infinito de 1/n². Estou apenas expressando isto como
a soma disto mais tudo isto. O interessante é que isto,
que acabo de escrever em azul, é este bloco, mais este bloco,
mais o próximo bloco, que será menor do que a integral
definida aqui. Note que esta integral definida
é uma subestimativa. Ela está sempre abaixo da curva. Ela será menor que aquela integral definida. Poderemos escrever que isto
será menor do que 1, mais... no lugar de escrever isto,
vamos escrever isto. 1 mais a integral definida de 1 ao infinito de 1/x² dx. Por que isto é útil?
Porque sabemos como avaliar. Eu te encorajo a revisar a seção da Khan
Academy sobre integrais impróprias, se isto não lhe parece familiar. Mas eu vou resolver isto aqui embaixo. Sabemos que isto é o mesmo que o limite.
Vou introduzir uma variável aqui. "t" tendendo ao infinito da integral definida de 1 a "t" de x⁻² dx, que é igual ao limite, quando "t" tende ao infinito, de -x a -1. Podemos escrever -(1/x). Vamos calcular isto em "t" e em 1, que é igual ao limite de "t" tendendo ao infinito de -1/t, menos 1/1, que resulta em +1. Quando "t" se aproxima do infinito,
este termo será zero. Então, isto simplificará para 1. Esta coisa toda aqui é 1. Desta forma, somos capazes de calcular
um limite superior para esta série. Podemos dizer que a série em questão,
a soma infinita de "n" igual a 1 ao infinito de 1/n², será menor que 1 + 1. Ou seja, menor que 2. Outra forma de pensarmos a respeito seria pensarmos que 2 é esta área
mais esta área. Estamos dizendo que esta soma
é menor que 2. Assim, definimos um limite superior.
Ela não será "menos infinito". E, já que todos os termos são positivos, sabemos
que a soma não oscilará entre dois valores. Desta forma, isso nos dá uma boa impressão de que esta série converge. A lógica que usamos aqui para convencer
por que a série converge, novamente, esta não é uma prova rigorosa, mas é a lógica subjacente do teste integral.