Exemplo resolvido: estimar eˣ usando o resto de Lagrange

RKA2G - "Estimando "e" elevado a 1,45 usando um polinômio de Taylor sobre x = 2, qual é o menor grau do polinômio que garante um erro menor do que 0,001?" Em geral, se você tiver uma situação em que está aproximando uma função usando o polinômio de Taylor centrado em um certo valor, e a gente quiser descobrir qual é o número mínimo de termos que precisa, ou qual é o grau do polinômio que devo usar para que o erro não ultrapasse um certo valor, de modo que eu consiga limitar esse erro, pode desconfiar que a gente vai usar o teorema do resto, de Lagrange, para um polinômio de Taylor. Vamos relembrar isto, então. Aqui nós temos uma revisão do teorema do resto de Lagrange para quando estamos aproximando uma função usando o polinômio de Taylor. O que diz este resultado? O módulo do resto de um polinômio de grau "n" vai ficar menor ou igual a toda esta expressão em módulo. Nesta expressão, o que está aparecendo? Está aparecendo o "n", está aqui. "n" é o grau do polinômio que estamos usando na aproximação. é exatamente isso que eu quero descobrir. O "x", que seria qual o valor que vamos fazer essa aproximação. Neste caso, é 1,45. Temos "c", que é para qual valor vamos centrar a aproximação do polinômio de Taylor. Vai ser 2. E temos "m". O que seria o "m"? "m" é o limite superior do módulo da derivada de ordem (n + 1) da função "f". Bom, estamos tentando aproximar a função "e" elevado a "x". Então, vou escrever: f(x) = eˣ. E queremos aproximar isso quando x = 1,45. O que nós não temos aqui, que vamos precisar calcular, é o valor de "m". Este "m" é o limite superior do módulo da derivada de ordem (n + 1) da função. Vamos tentar procurar quem é a derivada de ordem (n + 1) da função. O legal aqui é que a função é eˣ e a derivada primeira de eˣ é a própria eˣ. A derivada segunda de eˣ também ia dar eˣ. Então, a gente sabe que, se fizer isto para qualquer ordem, quando eu fizer a derivada de ordem (n + 1) desta função, vai dar a própria eˣ. O que é bastante conveniente para a gente, uma vez esse tipo de problema pode ser bem complicado quando temos dificuldade para limitar a derivada de ordem (n + 1) da função. Mas, neste caso, a derivado de ordem (n + 1) da função é a própria eˣ e queremos achar um limite para o módulo de eˣ. Entretanto, quando a gente considera o domínio real desta função f(x) = eˣ, nós temos que, quando "x" vai para o infinito, eˣ vai para o infinito também. Isto é uma função ilimitada. Portanto, a gente não consegue um limite superior para esta função. O que vamos fazer é considerar em um certo intervalo. Vamos achar um intervalo em que ela tenha um limite superior. Vou escrever aqui que o módulo de eˣ é menor ou igual a "e" elevado ao quadrado, para "x" entre zero e 2, inclusive 2. Então, agora estamos colocando um intervalo: entre zero e 2, inclusive, para que, quando pegarmos o "x" dentro desse intervalo, termos que o módulo de eˣ é menor ou igual a e². Este intervalo eu não escolhi ao acaso, também. Nós queremos um intervalo em que a gente tenha o valor de "x" da aproximação, que é 1,45. Ele está dentro deste intervalo. E temos o valor que estamos centrando o polinômio, que é 2, que também está dentro deste intervalo. E aí conseguimos um valor para "m", conseguimos um valor para ser o limite. Já que e² é um limite superior para o módulo de eˣ, este é o que vamos tomar como sendo "m". Voltando para o resto de Lagrange, vamos escrever aqui. Vamos ter: o módulo do resto de um polinômio de ordem "n" tem que ser menor ou igual a esta expressão. Aqui, vamos ter: e² (que é o "m") sobre n + 1 fatorial, vezes "x". Aqui o "x" que vamos usar é 1,45, o valor que queremos aproximar. menos "c", que é onde estamos centrando a aproximação: menos 2. E já vamos colocar esta conta aqui. 1,45 - 2 vai dar -0,55, elevado a n + 1, isto em módulo. E o que eu quero? Eu quero que isto tudo seja um valor menor do que 0,001. Este é o nosso objetivo, fazer isto ficar menor do que 0,001. Mas dá uma olhada aqui. O módulo deste valor tem que ser menor do que 0,001. Aqui nós temos e², que é sempre positivo. E aqui, n + 1 fatorial também é sempre positivo. -0,55 elevado a (n + 1)? Bom, se (n + 1) for um expoente par, isso vai dar positivo. Se for ímpar, vai dar negativo. Então, vai ficar oscilando. Entretanto, não importa se vai dar positivo ou negativo o resultado desta multiplicação, destes dois pela divisão por este resultado. Isto a gente vai tirar o módulo. Então, vai dar sempre o mesmo valor positivo. Tirando o módulo disto, a gente pode fazer a análise assim: isto vai ser e², sobre n + 1 fatorial. E, aqui, vezes 0,55. Não precisa se preocupar com o sinal. Estou tirando o módulo, vai dar sempre positivo. Isto vai ficar 0,55 elevado a (n + 1). Eu quero que isto seja menor do que... Vou escrever na mesma cor que usamos ali, em branco. Eu quero que isto seja menor que 0,001. Mas, como estamos querendo resolver em "n", aqui eu vou dividir por e² dos dois lados da inequação. Então, aqui, e² com e² vai desaparecer. e, aqui, vai aparecer e² do lado de cá. Como e² é um número positivo, não vai alterar nada na estrutura da inequação. Isto vai ficar, então: 0,55 elevado a (n + 1), dividido por (n + 1) fatorial, tem que ser menor que 0,001, dividido por e². Para resolver isto, vamos tentar procurar qual o "n" que satisfaz esta inequação, ou, pelo menos, o menor "n" que satisfaz esta inequação. Eu vou usar a calculadora. Vou abrir a calculadora para a gente tentar achar esse resultado. Aqui, dá só uma olhada no seguinte: primeiro, vamos calcular este valor: 0,001 dividido por e². Vou fazer, 0,001 dividido por e². 0,001 dividido por e² vai dar 1,35335... vezes 10 elevado a -4. Como é 10 elevado a -4, isto aqui eu vou voltar a vírgula quatro casas. Então, eu posso escrever assim: eu tenho aqui 0,55 elevado a (n + 1) sobre n + 1 fatorial tem que ser menor que 0,000135. Repare que a gente acabou fazendo uma aproximação aqui. Então, este valor aqui, que a gente dividiu 0,001 por e², não deu exatamente isso. Ele deu um valor maior. Deu 0,000135 e aí vêm vários valores aqui depois, tem vários números aparecendo aqui que a gente trocou por zero. A gente aproximou aqui e usou uma aproximação menor do que o valor de fato. E o interessante é o seguinte: já que é este cara que estamos procurando, queremos achar um "n" que faça isto ser menor do que esta aproximação, e esta aproximação é menor do que o valor de fato, se eu conseguir "n" menor do que isto, automaticamente eu já consegui o "n" que eu queria para resolver isto também. Então, podemos escrever aqui um "se, e somente se" nestas duas expressões. O que vamos fazer agora é tentar valores para "n". Vamos testar valores naturais no lugar do "n" para ver se resolve esta inequação. Entretanto, como queremos o menor grau do polinômio, queremos o menor valor, eu quero encontrar um número natural que resolva isto, que satisfaça isto, porém, o seu antecessor não pode satisfazer isto. Antes dele, ninguém vai satisfazer. Por isso ele vai ser o menor. Eu quero um cara que satisfaça, mas que ninguém antes dele satisfaça. Vamos lá, então. Vamos procurar. Você pode começar testando este "n" com qualquer número natural. 1, 2, 3, 4... Qual você quiser. Eu vou começar fazendo com "n' igual a 3, por exemplo. Vamos fazer: 0,55, elevado a... 3 + 1 vai ficar 4, então, elevado a 4, dividido por... 3 + 1 = 4 fatorial. E 4 fatorial é 24. Isto vai dar 0,003. Só tem dois zeros antes do 3, então este está maior ainda. Não deu certo. "n" igual a 3 foi foi pouco, vai ter que aumentar o valor do "n". Vamos tentar um "n" maior. Vamos tentar n = 4. Vai ficar 0,55 elevado a... Agora vamos fazer 4 + 1 = 5. Elevado a 5. Dividido por... 4 + 1 vai ficar 5 fatorial. 5 fatorial é 120. Então, isto deu 4,19 vezes 10 elevado a -4. 10 elevado a -4, eu vou voltar a vírgula quatro casas. Isto vai ficar 0,0004. 0,0004 ainda é maior, mas chegou bem perto. Eu tenho a sensação de que o próximo que a gente tentar já vai resolver o problema. Mas vamos confirmar. Parece que 5 vai dar certo. Vamos colocar n = 5. Vai ficar 0,55 elevado a... 5 + 1 = 6. Dividido por... 5 + 1 = 6, então, 6 fatorial. 6 fatorial é 120 vezes 5, dá 720. Isto vai 3,84 vezes 10 elevado a -5 Como é 10 elevado a -5, eu vou ter que voltar cinco casas. Antes do 3, vão aparecer quatro zeros. Agora resolveu mesmo. Vamos escrever: isto deu 0,0000384. Comparando aqui, 0,0000384 é menor do que este. Tem quatro zeros e aqui tem três. Conseguimos um valor menor. n = 5 é realmente o menor valor que resolve. Daqui para a frente vamos conseguir outros valores, mas todos vão ser maiores que 5. Então, quando colocamos n = 5, a gente tem que o resto, este resto aqui, vai ficar menor ou igual a 0,001, este erro que vamos cometer. Então, a pergunta era: qual é o menor grau do polinômio que vai garantir um erro menos que 0,001? O menor grau é n = 5.